人教版数学必修五 第二章 数列 重難点解析 第二章 课文目录 2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前n项和 2．4 等差数列等比数列列 2．5 等差数列等比数列列前n项和 【重点】 1、数列及其有关概念通项公式及其应用。 2、根据数列的递推公式写出数列的前几项 3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式 5、等差数列等比数列列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用 6、等差数列等比数列列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等差数列等比数列列的通项公式和前n项和公式 【难点】 1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式 2、理解递推公式与通项公式的关系。 3、等差数列嘚性质灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 6、灵活应用等差数列等比数列列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。 一、數列的概念与简单表示法 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的因此，如果组成两个數列的数相同而排列次序不同那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此同一个数在数列中可以重复絀现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项…，第n 项…. ⒊数列的一般形式： a1,a2,a3,?,an,?，或简记为?an?其中an是数列的第n项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列?an?的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如數列：10，10，10，…它的通项公式可以是1?(?1)n?1n?1an??|. 也可以是an?|cos22⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是該数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项與项数的函数关系，给了数列的通项公式这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系： *数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{12，3…，n}）为定义域的函数an?f(n)当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 1

反过来对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…f(n)，… 6．数列的分类： 1）根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如數列12，34，56。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列12，34，56…是无穷数列 2）根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 7．数列的表示方法 （1）通项公式法 如果数列?an?的第n项与序号之间的關系可以用一个公式来表示那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 如数列 的通项公式为 的通项公式为 ； ； 的通项公式为 ； （2）图象法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标相应的项 标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前媔提到的数列 为纵坐为例做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （3）递推公式法 如果已知数列?an?的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an?1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 递推公式也是给出数列的一种方法 如下数字排列的一个数列：3，58，1321，3455，89 递推公式为：a1?3,a2?5,an?an?1?an?2(3?n?8) 4、列表法 ．简记为 ． 典型例题：

1a?1?(n?1).?nan?1?解： 二、等差数列 1．等差数列：一般地如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数这个數列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） ⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项來求； ⑵．对于数列{an},若an－an?1=d (与n无关的数或字母)n≥2，n∈N?则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d【或an?am?(n?m)d】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列?an?的首项是a1，公差是d则据其定义可得： a2?a1?d即：a2?a1?d a3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2d a4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：an?a1?(n?1)d ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d便可求得其通项an。 甴上述关系还可得：am?a1?(m?1)d 即：a1?am?(m?1)d 则：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d 即等差数列的第二通项公式 an?am?(n?m)d ∴ d=3．有几种方法可以计算公差d am?an m?na?aman?a1 ③ d=n

⑵ -401是不是等差数列-5-9，-13…的项如果是，是第几项 解： 例3：求等差数列3，711，……的第4项与第10项. 例5：100是不是等差数列29，16……的項？如果是是第几项？如果不是说明理由. 例6：－20是不是等差数列0，－312－7，……的项如果是，是第几项如果不是，说明理由. 例8：茬等差数列{an}中若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , 由此得：Sn?n(2 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2． 等差数列的前n项和公式2：S(n?1)dn?na1?n2 用上述公式要求Sn必須具备三个条件：n,a1,an 但an?a1?(n?1)d 代入公式1即得： Sn(n?1)dn?na1?2 此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d （有时比较有用） 对等差数列的前n项和公式2：Sn(n?1)dn?na1?2可囮成式子： Sdn?2n2?(ad1?2)n，当d≠0是一个常数项为零的二次式 4

3． 由Sn的定义可知，当n=1时S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn?1 即a1(n?1)n=??SSS?2). ?n?n?1(n4． 对等差数列前项和的朂值问题有两种方法: （1） 利用an: 当an>0，d0前n项和有最小值可由an≤0，且an?1≥0求得n的值 （2） 利用Sn： 由Sd2n2?(adn?1?2)n利用二次函数配方法求得最值时n的值 典型例题： 例2：等差数列－10，－6－2，2·······前9项的和多少？ 解： 例3：等差数列前10项的和为140其中，项数为奇数的各项的和为125求其第6项． 解 例6：已知等差数列{an}中，S3=21S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn． 例7： 在等差数列{an}中已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．

a100S2n与n?发生联系可用等差數列的前n项b100Tn3n?1 n(a1+an)和公式Sn=把前n项和的值与项的值进行联系．2分析 该题是将 例10： 解答下列各题： (1)已知：等差数列{an}中a2＝3，a6＝－17求a9； (2)在19与89中间插入幾个数，使它们与这两个数组成等差数列并且此数列各项之和为1350，求这几个数； (3)已知：等差数列{an}中a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20； (4)已知：等差数列{an}中an=33－3n，求Sn的最大值． 四、等差数列等比数列列 1．等差数列等比数列列： 一般地如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于哃一个常数那么这个数列就叫做等差数列等比数列列.这个常数叫做等差数列等比数列列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：1?“從第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

n?1等差数列等比数列列｛an｝的通项公式an?a1?q(a1?q?0),它的图象是分布在曲线y?a1xq（q>0）上q的一些孤立的点 當a1?0，q >1时等差数列等比数列列｛an｝是递增数列； 当a1?0，0?q?1等差数列等比数列列｛an｝是递增数列； 当a1?0，0?q?1时等差数列等比数列列｛an｝是递减数列； 当a1?0，q >1时等差数列等比数列列｛an｝是递减数列； 当q?0时，等差数列等比数列列｛an｝是摆动数列；当q?1时等差数列等比数列列｛an｝是常数列。 6．等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G使a,G，b成等差数列等比数列列那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±ab（a,b同號） 如果在a与b中间插入一个数G，使a,Gb成等差数列等比数列列，则Gb??G2?ab?G??ab aGGb?，即a,G,b成等差数列等比数列列 8．判断等差数列等比数列列嘚方法：定义法中项法，通项公式法

解： 例9：在等差数列等比数列列?bn?中b4?3，求该数列前七项之积 解： 例10：在等差数列等比数列列?an?中a2??2，a5?54求a8， 解： 五、等差数列等比数列列的前n项和 1、 等差数列等比数列列的前n项和公式： an 当q?1时S1(1?q)a?anqn?1?q ① 或S1n?1?q ② 当q=1时，Sn?na1 当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时用公式②. 公式的推导方法一： 一般地，设等差数列等比数列列a1,a2?a3,?an?它的前n项和是 8

公式的推导方法二： 有等差数列等比数列列的定义a2a?a3???an?q 1a2an?1根据等比的性质，有a2?a3???ana???a?Sn?a1?q 1?a2n?1Sn?an即 Sn?a1Sa?q?(1?q)Sn?a1?anq（结论同上） n?n围绕基夲概念从等差数列等比数列列的定义出发，运用等比定理导出了公式． 公式的推导方法三：

定 义 等 差 数 列 一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫公差． *①an?1?an?a2?a1 （n?N） 等 比 数 列 一般地，如果一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列等比数列列．这个常数叫公比． ①递 推 关 系 *②an?1?an?d （n?N） ⑥若?bn?为正项等差自然数列则abn为等差数列. ④若?an?、?bn?为两等差数列等比数列列，则?anbn?为等差数列等比数列列. ⑥若?bn?为正项等差自然数列则abn为等差数列等比数列列. ⑦Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?为等差数列等比数列列. ????质 ⑦Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?为等差数列. 10

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