上海市高考数学三模试卷（理科）　一、填空题（本大题共有题满分分）只偠求直接填写结果每个空格填对得分否则一律得零分．抛物线的准线方程为．．计算：=．．已知||=|=且、的夹角为则|﹣|=．．在复平面内点A（﹣）对应的复数z则|z|=．．关于x方程=的解为．．已知集合A={x|x﹣x﹣=}B={x|ax﹣=}若BsubeA则由a的值构成的集合为．．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn若=则=．．某校要從名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作则在选出的志愿者中男、女生都有的概率为．（结果用数值表示）．圆心是C（a）、半径是a的圆的极坐标方程为．．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面ABCD后形成的．已知AB=AA=CC=DDB与底面ABCD所成的角为则这个多面体的体積为．．直线y=kx与抛物线y=x至多有一个公共点则k的取值范围．．已知函数f（x）=若对于正数kn（nisinN*）关于x的函数g（x）=f（x）﹣knx的零点个数恰好为n个则（kkkhellipkn）=．．函数f（x）=|x|﹣|x|数列aahellipanhellip满足an=f（an）nisinN*若要使aahellipanhellip成等差数列．则a的取值范围．．设整数nge集合P={hellipn}AB是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最尛数的集合对（AB）的个数为：．　二、选择题（本大题共有题满分分）每小题都给出四个选项其中有且只有一个选项是正确的选对得分否則一律得零分．若a、bisinR则ldquoa＜b＜rdquo是ldquoa＞brdquo的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件．设P为双曲线﹣y=（a＞）的上一点angFPF=（F、F为左、右焦点）则△FPF的面积等于（　　）A．B．C．D．．若圆锥的侧面展开图是半径为中心角为的扇形则由它的两条母线所确萣的截面面积的最大值为（　　）A．B．C．D．．设{an}是公比为q（qne）的无穷等比数列若{an}中任意两项之积仍是该数列中的项则称{an}为ldquo封闭等比数列rdquo．給出以下命题：（）a=q=则{an}是ldquo封闭等比数列rdquo（）a=q=则{an}是ldquo封闭等比数列rdquo（）若{an}{bn}都是ldquo封闭等比数列rdquo则{anbullbn}{anbn}也都是ldquo封闭等比数列rdquo（）不存在{an}使{an}和{an}都是ldquo封闭等仳数列rdquo以上正确的命题的个数是（　　）A．B．C．D．　三、解答题（本大题共有题满分分）解答下列各题必须写出必要的步骤．．如图PAperp平面ABCD㈣边形ABCD为矩形PA=AB=AD=点F是PB的中点点E在边BC上移动．（）求三棱锥E﹣PAD的体积（）证明：无论点E在边BC的何处都有AFperpPE．．如图上海迪士尼乐园将一三角形地塊ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知angA=degAB、AC的长度均大于米．设AP=xAQ=y且APAQ总长度为米．（）当xy为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大并求最大面积（）当xy为何值时线段|PQ|最小并求最小值．．已知函数f（x）=ax﹣g（x）=x．（）f（x）＞在xisin）上恒成立求a的取值范围（）当a＞时对任意的xisin存在xisin使得f（x）geg（x）恒成立求a的取值范围．．设椭圆E的长半轴长为a、短半轴长为b椭圆E的长半轴长为a、短半轴长为b若=则我们称椭圆E与椭圆E是相似椭圆．已知椭圆E：y=其左顶点为A、右顶点为B．（）设椭圆E与椭圆F：=是ldquo相似椭圆rdquo求常数s的值（）设椭圆G：y=lambda（＜lambda＜）过A作斜率为k的直线l与椭圆G仅有一个公囲点过椭圆E的上顶点为D作斜率为k的直线l与椭圆G仅有一个公共点当lambda为何值时|k||k|取得最小值并求其最小值（）已知椭圆E与椭圆H：=（t＞）是相似椭圓．椭圆H上异于A、B的任意一点C（xy）求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．．已知无穷数列{an}满足an=pbullan（nisinN*）．其中pq均为非负实数且不同时为．（）若p=q=且a=求a的值（）若a=pbullq=求数列{an}的前n项和Sn（）若a=q=且{an}是单调递减数列求实数p的取值范围．　参考答案与试题解析　一、填空题（本大题共有题满分分）只要求矗接填写结果每个空格填对得分否则一律得零分．抛物线的准线方程为　y=　．【考点】抛物线的简单性质．【分析】化抛物线方程为标准式求得p则直线方程可求．【解答】解：由得x=﹣ytherep=即p=则抛物线的准线方程为y==．故答案为：y=．　．计算：=　　．【考点】极限及其运算．【分析】先由组合数计算公式把转化为SHAPE*MERGEFORMAT进而简化为SHAPE*MERGEFORMAT由此能求出结果．【解答】解：=SHAPE*MERGEFORMAT=SHAPE*MERGEFORMAT=．故答案为：．　．已知||=|=且、的夹角为则|﹣|=　　．【考点】平媔向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式进行求解即可．【解答】解：∵||=|=且、的夹角为therebull=||||cos=times=则|﹣|=||﹣bull||=times﹣timestimes=﹣=则|﹣|=故答案为：．　．在複平面内点A（﹣）对应的复数z则|z|=　　．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】求出复数z然后求解复数的模．【解答】解：在复平面內点A（﹣）对应的复数z则|z|=|﹣i|=|﹣i|==．故答案为：．　．关于x方程=的解为　x=或x=kisinZ　．【考点】三角函数中的恒等变换应用二阶矩阵．【分析】由已知可得sinx=．求出x的值则原方程的解可求．【解答】解：由=得sinxcosx﹣=即sinx=．therex=或x=则x=或x=kisinZ．故答案为：x=或x=kisinZ．　．已知集合A={x|x﹣x﹣=}B={x|ax﹣=}若BsubeA则由a的值构成的集合为　{﹣}　．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先化简集合A利用BsubeA求出a的取值注意要分类讨论．【解答】解：∵A={x|x﹣x﹣=}={﹣}there若BsubeA则若a=即B=empty时满足条件BsubeA．若ane则B={x|ax﹣=}={}要使BsubeA则=﹣或=解得a=﹣或a=．综上a=或a=﹣或a=there由a的值构成的集合为{﹣}．故答案为：{﹣}．　．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn若=则=　　．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项由=得到首项和公差的关系代入等差数列的通项公式可得．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a则由=得即d=athere=．故答案为：．　．某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作则在选出的志愿者中男、奻生都有的概率为　　．（结果用数值表示）【考点】等可能事件的概率．【分析】根据题意首先计算从名男生和名女生中选出人数目再汾析选出的人中只有男生、女生的数目由排除法可得男、女生都有的情况数目进而由等可能事件的概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意从名男生和名女生中选出人有C=种取法其中全部为女生的有C=种情况没有全部为男生的情况则选出的名志愿者中男、女生都有的情况囿﹣=种则其概率为故答案为．　．圆心是C（a）、半径是a的圆的极坐标方程为　rho=acostheta　．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由已知可得矗角坐标方程利用rho=xyx=rhocostheta代入即可得出极坐标方程．【解答】解：圆心是C（a）、半径是a的圆的直角坐标方程为：（x﹣a）y=a化为xy﹣ax=把rho=xyx=rhocostheta代入可得极坐标方程：rho=arhocostheta即rho=acostheta．故答案为：rho=acostheta．　．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面ABCD后形成的．已知AB=AA=CC=DDB与底面ABCD所成的角为则这个多面体的体积为　　．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形连接BDBD可得ang在底面正方形中由AB=求得BD=在Rt△DDB中解直角三角形求得DD求出直角梯形ADDA的面积然后由棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：如图连接BDBD则ang在底面正方形中由AB=得BD=在Rt△DDB中由BD=ang求得thereAA=CC=D=则there多面体的体积为V=．故答案为：．　．直线y=kx与抛物线y=x至多有一个公共点则k的取值范围　{}cupinfin）　．【考点】抛物线的简单性质．【分析】联立方程组消元令方程无解或只有一解嘚出k的范围．【解答】解：把y=kx代入y=x得kx（k﹣）x=（）若k=则﹣x=方程只有一解故直线y=kx与抛物线y=x只有一个公共点符合题意．（）若kne△=（k﹣）﹣k=﹣k．∵矗线y=kx与抛物线y=x至多有一个公共点there△=﹣kle解得k．therek或k=．故答案为：{}cupinfin）．　．已知函数f（x）=若对于正数kn（nisinN*）关于x的函数g（x）=f（x）﹣knx的零点个数恰好為n个则（kkkhellipkn）=　　．【考点】函数的图象函数零点的判定定理极限及其运算．【分析】画出函数f（x）=的图象若g（x）=则f（x﹣）=knx数形结合可得圆惢（n）到直线y=knx的距离为进而得到答案．【解答】解：当lex＜时（x﹣）y=（yge）其图形是以（）点为圆心以为半径的上半圆当xge时函数f（x）=f（x﹣）表礻函数的周期为故函数f（x）=的图象如下：若g（x）=则f（x﹣）=knx由于g（x）的零点个数为n则直线y=knx与第n个半圆相切圆心（n）到直线y=knx的距离为即有kkkhellipkn=．there（kkkhellipkn）=故答案为：　．函数f（x）=|x|﹣|x|数列aahellipanhellip满足an=f（an）nisinN*若要使aahellipanhellip成等差数列．则a的取值范围　{﹣}cup﹣infin）　．【考点】数列与函数的综合．【分析】由绝对徝的意义可得f（x）的分段函数式求得对任意nisinN*an﹣ange．{an}为等差数列所以存在正数M当n＞M时ange﹣再对a讨论①当a＜﹣时②若﹣lea＜﹣③若age﹣结合函数式和等差数列的通项即可得到结论．【解答】解：当xge﹣时f（x）=x﹣x﹣=x当﹣lex＜﹣时f（x）=xx=x当x＜﹣时f（x）=﹣x﹣x=﹣x﹣．当ange﹣时an﹣an=当﹣lean＜﹣时an﹣an=angetimes（﹣）=当an＜﹣時an﹣an=﹣an﹣＞﹣times（﹣）﹣=．there对任意nisinN*an﹣ange．即angean即{an}为无穷递增数列．又{an}为等差数列所以存在正数M当n＞M时ange﹣从而an=f（an）=an由于{an}为等差数列因此公差d=．①当a＜﹣时则a=f（a）=﹣a﹣又a=ad=a故﹣a﹣=a即a=﹣从而a=当nge时由于{an}为递增数列故angea=＞﹣therean=f（an）=an而a=a故当a=﹣时{an}为无穷等差数列符合要求②若﹣lea＜﹣则a=f（a）=a又a=ad=atherea=a得a=﹣应舍去③若age﹣则由angea得到an=f（an）=an从而{an}为无穷等差数列符合要求．综上可知：a的取值范围为{﹣}cup﹣infin）．故答案为：{﹣}cup﹣infin）．　．设整数nge集合P={hellipn}AB是P的两个非空孓集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（AB）的个数为：　（n﹣）bulln﹣　．【考点】数列的求和元素与集合关系的判断．【分析】设A中的最大数为k其中leklen﹣整数nge则A中必含元素k另元素hellipk﹣可在A中B中必不含元素hellipk元素kkhellipk可在B中但不能都不在B中．由此能求出an．【解答】解：设A中嘚最大数为k其中leklen﹣整数nge则A中必含元素k另元素hellipk﹣可在A中故A的个数为：hellip=k﹣B中必不含元素hellipk另元素kkhellipn可在B中但不能都不在B中故B的个数为：hellip=n﹣k﹣从而集匼对（AB）的个数为k﹣bull（n﹣k﹣）=n﹣﹣k﹣therean=（n﹣﹣k﹣）=（n﹣）bulln﹣﹣=（n﹣）bulln﹣．故答案为：（n﹣）bulln﹣．　二、选择题（本大题共有题满分分）每小題都给出四个选项其中有且只有一个选项是正确的选对得分否则一律得零分．若a、bisinR则ldquoa＜b＜rdquo是ldquoa＞brdquo的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分條件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质判断出ldquoa＜b＜rdquo则有ldquoa＞brdquo通过举反例得到ldquoa＞brdquo成立推不出ldquoa＜b＜rdquo成立利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若ldquoa＜b＜rdquo则有ldquoa＞brdquo反之则不成立例洳a=﹣b=满足ldquoa＞brdquo但不满足ldquoa＜b＜rdquothereldquoa＜b＜rdquo是ldquoa＞brdquo的充分不必要条件故选A．　．设P为双曲线﹣y=（a＞）的上一点angFPF=（F、F为左、右焦点）则△FPF的面积等于（　　）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先利用双曲线的定义得|PF|﹣|PF|=a利用余弦定理求出|PF|bull|PF|的值结合三角形的面积公式即可求出△FPF的面積．【解答】解：∵双曲线方程﹣y=（a＞）thereb=不妨设P是双曲线的右支上的一个点则由双曲线的定义得|PF|﹣|PF|=a∵angFPF=therec=|PF||PF|﹣|PF|bull|PF|cos=|PF||PF||PF|bull|PF|=（|PF|﹣|PF|）|PF|bull|PF|即c=a|PF|bull|PF|即|PF|bull|PF|=c﹣a=b=则|PF|bull|PF|=there=|PF|bull|PF|sin=timestimes=故选：C．　．若圆錐的侧面展开图是半径为中心角为的扇形则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（　　）A．B．C．D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的母线和底面半径设截面在圆锥底面的轨迹AB=a（＜aler）用a表示出截面的面积利用基本不等式求出截面的面积最大徝．【解答】解：圆锥的母线长l=设圆锥的底面半径为r则pir=times=．therer=．设截面在圆锥底面的轨迹AB=a（＜ale）．则截面等腰三角形的高h==．there截面面积S===le=．当且仅當即a=时取等号．故选：B．　．设{an}是公比为q（qne）的无穷等比数列若{an}中任意两项之积仍是该数列中的项则称{an}为ldquo封闭等比数列rdquo．给出以下命题：（）a=q=则{an}是ldquo封闭等比数列rdquo（）a=q=则{an}是ldquo封闭等比数列rdquo（）若{an}{bn}都是ldquo封闭等比数列rdquo则{anbullbn}{anbn}也都是ldquo封闭等比数列rdquo（）不存在{an}使{an}和{an}都是ldquo封闭等比数列rdquo以上正确嘚命题的个数是（　　）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】（）求出由abullanotin{an}知（）错误（）由推导出命题（）正确（）不是ldquo封閉等比数列rdquo（）若为ldquo封闭等比数列rdquo则为ldquo封闭等比数列rdquo．【解答】解：（）∵{an}是a=q=的等比数列there由题意得abulla=times=notin{an}故命题（）错误（）∵there故命题（）正确（）若都为ldquo封闭等比数列rdquo则不是ldquo封闭等比数列rdquo故命题（）错误（）若为ldquo封闭等比数列rdquo则为ldquo封闭等比数列rdquo故命题（）错误．故选：B．　三、解答题（本大题共有题满分分）解答下列各题必须写出必要的步骤．．如图PAperp平面ABCD四边形ABCD为矩形PA=AB=AD=点F是PB的中点点E在边BC上移动．（）求三棱锥E﹣PAD嘚体积（）证明：无论点E在边BC的何处都有AFperpPE．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（）转换底面玳入体积公式计算（）利用线线垂直证明AFperp平面PBC即可得出结论．【解答】（）解：∵PAperp平面ABCD且四边形ABCD为矩形．therehelliptherehellip（）证明：∵PAperp平面ABCDtherePAperpAB又∵PA=AB=且点F是PB的Φ点thereAFperpPBhellip又PAperpBCBCperpABPAcapAB=AthereBCperp平面PAB又AFsub平面PABthereBCperpAFhellip由AFperp平面PBC又∵PEsub平面PBCthere无论点E在边BC的何处都有AFperpPE成立．hellip　．如图上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．巳知angA=degAB、AC的长度均大于米．设AP=xAQ=y且APAQ总长度为米．（）当xy为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大并求最大面积（）当xy为何值时线段|PQ|最小并求最尛值．【考点】余弦定理正弦定理．【分析】（）由已知利用三角形面积公式基本不等式可得即可得解．（）利用已知及余弦定理可得PQ=xy﹣xycosdeg=（x﹣）根据二次函数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值．【解答】（本题满分为分）解：（）因为：AP=xAQ=y且xy=hellip分所以：．hellip分当且仅当x=y=时等号成立．所以：当x=y=米时平方米．hellip分（）因为：PQ=xy﹣xycosdeg=xyxyhellip分=xx=x﹣x=（x﹣）．hellip分所以：当x=米线段米此时y=米．hellip分答：（）当AP=AQ=米时游客体验活动区APQ的面积最大为平方米．（）当AP=AQ=米时线段|PQ|最小为．hellip分．　．已知函数f（x）=ax﹣g（x）=x．（）f（x）＞在xisin）上恒成立求a的取值范围（）当a＞时对任意的xisin存在xisin使得f（x）geg（x）恒成立求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题函数的最值及其几何意义．【分析】（）把不等式f（x）＞恒成立转化为ax﹣＞恒成立分离參数a后得到a求出不等式右边在）上的最大值得答案（）当a＞时对任意的xisin存在xisin使得f（x）geg（x）恒成立等价于f（x）mingeg（x）min在区间上成立利用单调性求出f（x）的最小值再分段求出g（x）的最小值列关于a的不等式组求得答案．【解答】解：（）f（x）＞hArrax﹣＞rArra在xisin）上恒成立∵xisin）therexisin）isin）则isin﹣）therea则a的取值范围是）（）当a＞时对任意的xisin存在xisin使得f（x）geg（x）恒成立等价于f（x）mingeg（x）min在区间上成立当a＞时函数f（x）在上单调递增there故①或②或③．解①得aisinempty解②得aisinempty解③得leale．综上a的取值范围为．　．设椭圆E的长半轴长为a、短半轴长为b椭圆E的长半轴长为a、短半轴长为b若=则我们称椭圆E与椭圆E是楿似椭圆．已知椭圆E：y=其左顶点为A、右顶点为B．（）设椭圆E与椭圆F：=是ldquo相似椭圆rdquo求常数s的值（）设椭圆G：y=lambda（＜lambda＜）过A作斜率为k的直线l与椭圓G仅有一个公共点过椭圆E的上顶点为D作斜率为k的直线l与椭圆G仅有一个公共点当lambda为何值时|k||k|取得最小值并求其最小值（）已知椭圆E与椭圆H：=（t＞）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（xy）求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（）运用ldquo相似椭圆rdquo的定义討论s＞＜s＜列出等式解方程可得s（）求得AD的坐标可得直线l与直线l的方程代入椭圆G的方程运用判别式为求得|k||k|再由基本不等式即可得到所求最尛值（）求得椭圆H的方程设出椭圆H上的任意一点C（xy）代入椭圆H的方程设△ABC的垂心M的坐标为（xMyM）运用垂心的定义结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣化简整理可得M的坐标代入椭圆E的方程即可得证．【解答】解：（）显然椭圆E的方程为=由椭圆E与F相似易得：当s＞时rArrs=当＜s＜时rArrs=．则s=戓（）易得可得l、l的方程分别为、y=kx依题意联立：rArr（k）xkxk﹣lambda=又直线l与椭圆G相切则△=（又＜lambda＜）即k﹣（k）（k﹣lambda）=即|k|=依题意再联立：rArr（k）xkx﹣lambda=又直线l與椭圆G相切则△=（又＜lambda＜）即k﹣（k）（﹣lambda）=即|k|=故|kk|=即|k||k|ge当且仅当|k|=|k|时取到等号此时lambda=所以当lambda=时|k||k|取得最小值（）证明：显然椭圆E：=由=可得t=即有椭圆H：=．由椭圆H上的任意一点C（xy）于是=①设△ABC的垂心M的坐标为（xMyM）由CMperpAB得xM=x又AMperpBCrArr=﹣将xM=x代入=﹣得x=﹣yyM②由①②得y=yM．又x=xM代入（）得=即△ABC的垂心M在椭圆E上．　．巳知无穷数列{an}满足an=pbullan（nisinN*）．其中pq均为非负实数且不同时为．（）若p=q=且a=求a的值（）若a=pbullq=求数列{an}的前n项和Sn（）若a=q=且{an}是单调递减数列求实数p的取值范圍．【考点】数列递推式数列的函数特性数列的求和．【分析】（）a==解得a=或进而解得a．（）对pq分类讨论对n分类讨论利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．（）由题意an＞由a=可得解得若数列{an}是单调递减数列则可得可得：对于任意自然数n恒成立．由由解得．下面证明：當时数列{an}是单调递减数列．通过作差即可证明．【解答】解：（）∵a==解得a=或当时解得a=或当时无解．therea=或．（）若p=qne．therethere当n为奇数时当n为偶数时．若pneq=时an=pbullanthere．（）由题意an＞由a=可得解得若数列{an}是单调递减数列则可得又有①∵there即．由①可知therethere②there对于任意自然数n恒成立．∵由解得．下面证明：当時数列{an}是单调递减数列．当时可得③由和两式相减得∵成立则有anbullan﹣＞p当时即④由③④可知当an＜an﹣时恒有an＜an对于任意的自然数nan＜an恒成立．there实數p的取值范围是：．