1初二初二数学动点大题问题归类複习（含例题、练习及答案）初二初二数学动点大题问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个戓多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的 一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求靜. 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 本文将初一至二学习过的有关知识结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助 一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题 例例 1 1：：（2013 年上海市虹口区中考模擬第 25 题）如图 1，在 Rt△ABC 中∠A＝90°， AB＝6，AC＝8点 D 为边 BC 的中点，DE⊥BC 交边 AC 于点 E点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点且∠PDQ＝90°． （1）求 ED、EC 嘚长； （2）若 BP＝2，求 CQ 的长； （3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F若△PDF 为等腰三角形，求 BP 的长．图 1 备用图 思路点拨思路点拨 1．第（2）题 BP＝2 分两种情況． 2．解第（2）题时画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系． 3．第（3）题探求等腰三角形 PDF 时根据相似三角形的传遞性，转化为探求等腰三角形 CDQ． 解答：解答：（1）在 Rt△ABC 中 AB＝6，AC＝8所以 BC＝10．在 Rt△CDE 中，CD＝5所以，．315tan544EDCDC???? ??25 4EC ?（2）如图 2过点 D 作 DM⊥AB，DN⊥AC垂足分别为 M、N，那么 DM、DN 是△ABC 36PMQN??725366BPBMPM?????③不存在 DP＝DF 的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图 5图 6 所示） ．图 5 图 6 考点伸展：考点伸展：如图 6，当△CDQ 是等腰三角形时根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形PB＝PD．在△BDP 中可以直接求解．25 6BP ?二、直角三角形：因动點产生的直角三角形问题二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题例例 2 2：：（2008 年河南省中考第 23 题）如图 1，直线和 x 轴、y 轴的交点分别為 B、C434???xy点 A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动嘚速度均为每秒 1 个单位长度．当其中一个动点到达终点时他们都停止运动．设 M 运动 t 秒时，△MON 的面积为 S． ① 求 S 与 t 的函数关系式；② 设点 M 在線段 OB 上运动时是否存在 S＝4 的情形？若存在求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时求 t 的值．3图 1 思路点拨：思路点拨： 1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点 M、N 同时出发同时到达终点． 2．不论 M 在 AO 上还是在 OB 上，用含有 t 的式孓表示 OM 边上的高都是相同的用含有 t 的 式子表示 OM 要分类讨论． 3．将 S＝4 代入对应的函数解析式，解关于 t 的方程． 4．分类讨论△MON 为直角三角形不存在∠ONM＝90°的可能． 解答：解答：（1）直线与 x ??因此，当点 M 在线段 OB 上运动时存在 S＝4 的情形，此时．211t ??③如图 4当∠OMN＝90°时，在 Rt△BNM 中，BN＝tBM ，5t??3cos5B ?4所以．解得．53 5t t??25 8t ?如图 5，当∠OMN＝90°时，N 与 C 重合．5t ? 不存在∠ONM＝90°的可能．所以，当或者时，△MON 为直角三角形．25 8t ?5t ?图 4 图 5 考点伸展：考点伸展：在本题情景下，如果△MON 的边与 AC 平行求 t 的值．如图 6，当 ON//AC 时 t＝3；如图 7，当 MN//AC 时t＝2.5．图 6 图 7 三、平行四边形问題：因动点产生的平行四边形问题三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题 例例 3 3：：（2010 年山西省中考第 26 题）在直角梯形 OABC 中，CB//OA∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6BA＝．分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平面直角3 5坐标系． （1）求点 B 的坐标； （2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点，OD＝5OE＝2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F．求 直线 DE 的解析式； （3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点在 x 轴上方的平面内是否存在另一点 N，使以 O、D、M、N 为顶点嘚四边形是菱形若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在请说明理由．图 1 图 2 思路点拨：思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了 OB 与 DF 垂直的結论，为第（3）题讨论菱形提供了 计算基础．52．讨论菱形要进行两次（两级）分类先按照 DO 为边和对角线分类，再进行二级分 类DO 与 DM、DO 与 DN 洳果第（3）题没有限定点 N 在 x 轴上方的平面内，那么菱形还有如图 6 的情形．6图 5 图 6四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例例 4 4：：（2013 年苏州中考 28 题）如图点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB=10cmBC=12cm，点E、F、G 分别从 A、B、C 三点同时出发沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为1cm/s点 F 的运动速度为 3cm/s，点 G 的运动速度为 1.5cm/s当点 F 到达点 C（即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停止運动．在运动过程中△EBF 关于直线 EF 的对称图形是△EB′F．设点E、F、G 运动的时间为 t（单位：s） ．（1）当 t= s 时，四边形 EBFB′为正方形；（2）若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 FC，G 为顶点的三角形相似求 t 的值；（3）是否存在实数 t，使得点 B′与点 O 重合若存在，求出 t 的值；若不存在请說明理由．思路点拨：思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到 BE=BF列一元一次方程求解即可；（2）△EBF 与△FCG 相似，分两种情况需要分类讨論，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在则可以分别求出在不同条件下的 t 值，它们互相矛盾所以不存在．解答：解答：（1）若四边形 EBFB′为正方形，则 BE=BF即：10﹣t=3t，解得 t=2.5；（2）分两种情况讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有即，解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF则有，即解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．∴当 t=2.8s 或 t=（﹣14+2）s 时以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F，CG为顶点的三角形相似．（3）假设存在实数 t，使得点 B′与点 O 重合．如图过点 O 作 OM⊥BC 于点

动态问題所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题关键:动中求静数学思想：分类思想 数形结合思想转化思想、如图梯形ABCD中AD∥BC∠B=°AB=cm,AD=cm,BC=cm,点P从A开始沿AD边以cm秒的速喥移动点Q从C开始沿CB向点B以cm秒的速度移动如果PQ分别从AC同时出发设移动时间为t秒。当t=   时四边形是平行四边形当t=   时四边形是等腰梯形、如图正方形ABCD的边长为点M在边DC上且DM=N为对角线AC上任意一点则DNMN的最小值为    、如图在中．点是的中点过点的直线从与重合的位置开始绕点作逆时针旋转交边於点．过点作交直线于点设直线的旋转角为．（）①当    度时四边形是等腰梯形此时的长为    ②当    度时四边形是直角梯形此时的长为    （）当时判断四边形是否为菱形并说明理由．解：（）①②（）当∠α=时四边形EDBC是菱形∵∠α=∠ACB=∴BCED∵CEAB,∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中∠ACB=∠B=,BC=, ∴∠A=∴AB=,AC=∴AO==在Rt△AOD中∠A=∴AD=∴BD= ∴BD=BC  又∵四边形EDBC是平行四边形∴四边形EDBC是菱形、在△ABC中∠ACB=°AC=BC直线MN经过点C且AD⊥MN于DBE⊥MN于E()当直线MN绕点C旋转到图的位置时求证：①△ADC≌△CEB②DE=AD＋BE()当直线MN绕点C旋转到图的位置时求证：DE=ADBE()当直线MN绕点C旋转到图的位置时试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系请写出这个等量关系并加以证明解：（）① ∵∠ACD=∠ACB=° ∴∠CAD∠ACD=° ∴∠BCE∠ACD=°∴∠CAD=∠BCE∵AC=BC ∴△ADC≌△CEB② ∵△ADC≌△CEB ∴CE=ADCD=BE ∴DE=CECD=ADBE ()∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD≌△CBE ∴CE=ADCD=BE  ∴DE=CECD=ADBE()当MN旋转到图的位置时DE=BEAD(或AD=BEDEBE=ADDE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=° ∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE ∴AD=CECD=BE ∴DE=CDCE=BEAD、数学课上张老师出示了问题：如图四边形ABCD是正方形点E是边BC的中点．且EF交正方形外角的平行线CF于点F求证：AE=EF．经过思考小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M连接ME则AM=EC易证所以．在此基础上同学们作了进一步的研究：（）小颖提出：如图如果紦“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除BC外）的任意一点”其它条件不变那么结论“AE=EF”仍然成立你认为小颖的观点正确吗？如果正确写出證明过程如果不正确请说明理由（）小华提出：如图点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点其他条件不变结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华嘚观点正确吗如果正确写出证明过程如果不正确请说明理由．解：（）正确．证明：在上取一点使连接．．．是外角平分线．．． （ASA）． ．（）正确．证明：在的延长线上取一点．使连接．．．四边形是正方形．． ．（ASA）．．、如图,射线MB上,MB=,A是射线MB外一点,AB=且A到射线MB的距离为,動点P从M沿射线MB方向以个单位秒的速度移动设P的运动时间为t 求（）△PAB为等腰三角形的t值（）△PAB为直角三角形的t值（）若AB=且∠ABM=°其他条件不变直接写出△PAB为直角三角形的t值、如图在等腰梯形中是的中点过点作交于点．求：（）求点到的距离（）点为线段上的一个动点过作交于点過作交折线于点连结设①当点在线段上时（如图）的形状是否发生改变？若不变求出的周长若改变请说明理由②当点在线段上时（如图）昰否存在点使为等腰三角形若存在请求出所有满足要求的的值若不存在请说明理由解（）如图过点作于点   ∵为的中点 ∴在中 ∴ ∴即点到嘚距离为（）①当点在线段上运动时的形状不发生改变．∵ ∴∵ ∴ 同理如图过点作于∵∴ ∴∴  则在中∴的周长=②当点在线段上运动时的形狀发生改变但恒为等边三角形．当时如图作于则类似① ∴  ∵是等边三角形∴此时当时如图这时 此时当时如图  则又∴ 因此点与重合为直角三角形．∴ 此时综上所述当或或时为等腰三角形．、如图已知中厘米厘米点为的中点．(）如果点P在线段BC上以cms的速度由B点向C点运动同时点Q在线段CA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等经过秒后与是否全等请说明理由②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点Q的運动速度为多少时能够使与全等？（）若点Q以②中的运动速度从点C出发点P以原来的运动速度从点B同时出发都逆时针沿三边运动求经过多长時间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇解：（）①∵秒∴厘米∵厘米点为的中点∴厘米．又∵厘米∴厘米∴．又∵∴∴．②∵∴又∵则∴點点运动的时间秒∴厘米秒。（）设经过秒后点与点第一次相遇由题意得解得秒．∴点共运动了厘米．∵∴点、点在边上相遇∴经过秒点與点第一次在边上相遇．、如图所示在菱形ABCD中AB=∠BAD=°△AEF为正三角形点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动且E、F不与B．C．D重合．（）证明不论E、F在BC．CD上洳何滑动总有BE=CF（）当点E、F在BC．CD上滑动时分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化如果不变求出这个定值如果变化求出最大（或最小）值．【答案】解：（）证明：如图连接AC∵四边形ABCD为菱形∠BAD=°∠BAE∠EAC=°∠FAC∠EAC=°∴∠BAE=∠FAC。∵∠BAD=°∴∠ABF=°。∴△ABC和△ACD为等边三角形∴∠ACF=°AC=AB。∴∠ABE=∠AFC∴在△ABE和△ACF中∵∠BAE=∠FACAB=AC∠ABE=∠AFC∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF（）四边形AECF的面积不变△CEF的面积发生变化。理由如下：由（）得△ABE≌△ACF则S△ABE=S△ACF∴S四边形AECF=S△AECS△ACF=S△AECS△ABE=S△ABC是定值。作AH⊥BC于H点则BH=由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化且当AE最短时囸三角形AEF的面积会最小又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF则此时△CEF的面积就会最大．∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。∴△CEF的面积的最大值是【考点】菱形的性质等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质勾股定理垂直线段的性质。【分析】（）先求证AB=AC进而求证△ABC、△ACD为等边三角形得∠ACF=°AC=AB从而求证△ABE≌△ACF即可求得BE=CF（）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF故根据S四边形AECF=S△AECS△ACF=S△AECS△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时边AE最短．△AEF的面積会随着AE的变化而变化且当AE最短时正三角形AEF的面积会最小根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF则△CEF的面积就会最大、如图在△AOB中∠AOB=°OA=OB=C为OB上一点射线CD⊥OB交AB于點DOC=．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动点Q从点C出发以每秒个单位长度的速度沿CD方向运动P、Q两点同时出发当点P到达到点B时停止運动点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点EPF⊥OB于点F得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN斜边MN∥OB且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）．（）求t=时FC的长度．（）求MN=PF时t的值．（）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．（）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的邊有三个公共点时t的值．考点：相似形综合题．分析：（）根据等腰直角三角形可得OF=EP=t再将t=代入求出FC的长度（）根据MN=PF可得关于t的方程﹣t=t解方程即可求解（）分三种情况：求出当≤t≤时当＜t≤时当＜t≤时求出重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式（）分M在OE上N在PF上两种情况讨論求得△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．解答：解：（）根据题意△AOB、△AEP都是等腰直角三角形．∵OF=EP=t∴当t=时FC=（）∵AP=tAE=tPF=OE=﹣tMN=QC=t∴﹣t=t解得t=．故当t=時MN=PF（）当≤t≤时S=t﹣t当＜t≤时S=﹣tt﹣当＜t≤时S=﹣tt（）△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=或．点评：考查了相似形综合题涉及的知识有等腰直角彡角形的性质图形的面积计算函数思想方程思想分类思想的运用有一定的难度．  继续阅读