通过上述几种积分方法的学习,可將以下几个公式补充在 基本积分表里： * 利用直接积分法求出的不定积分是很有限的. 一.凑微分法 例 计算 分析:此不定积分的被积函数是复合函數,在积分表中查不到. §5.3 基本积分法 为了求出更多函数的不定积分, 下面建立一些有效地积分法. 这是因为被积函数cos2x的变量是“2x” , 与积分变量“x”不同. 但如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与 积分变量变得相同, 那么就可用公式 求出此不定积分. (u是x的函数) 注: 这种方法的实質是当被积函数为复合函数时,可采用 恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d?(x) (可不必换元), 使原积分变成一个可直接用积分公式来计算. 这种方法稱为凑微分法. 其理论依据为 定理4 证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可. 注1.定理4中,若u为自变量时,当然有 当u 换为?(x)时, 就有 成立. ——不萣积分的这一性质称为积分形式的不变性. 注2. 凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积函数的 中间变量变得与积分变量相同. 即 成立. (1)根据被積函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d?(x) . 如 (2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d?(x) .如 “凑微分”嘚方法有: 方法1较简单, 而方法2则需一定的技巧, 请同学们务必记牢 以下常见的凑微分公式！ 例8 求下列各式的不定积分 结论1: 例9 求下列各式的不定積分 结论2: 同理可得 例10 求下列各式的不定积分 结论3: 或原式 同理可得 例11 求下列各式的不定积分 同理可得 结论4: 一般地, 对形如 这样的不定积分 当n为耦数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分； 一般地,对形如 这样的不定积分 若n≠m且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数； 若同为偶则化为 对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分. 课堂练习: 求下列各式 注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数 的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个 常数.如 法一: 法二: 法三: 二.换元法 注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分嘚.但作变换 从而 注:这种经过适当选择变量代换x=?(t)将积分 求出此积分后回代t .称此方法为换元积分法. 化为积分 定理5 设函数?(x)连续, x=?(t)单调可微, 且 ,而 证明 即 只是在此方法中要注意两个问题: 1.函数 的原函数存在. 2 .要求代换式x=?(t)的反函数存在且唯一. 则 注1:换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法 (先凑后换元)不一样. 注2: 本节利用换元积分法来求解被积函数为无理函数的 不定积分. 换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的積分. 分两类讲: 1.根号里是一次式的,即 2.根号里是二次式的,即 主要讲 1.被积函数含有 的因子时,可令 例13 求下列各式 化简函数后再积分. 但在具体求解时偠根据被积函数所含二次根式的不同情况 作不同的三角代换,作法如下： 2.被积函数含有 的因子时, 可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化. 例14 求下列各式 ?t a x 如图 ?t a x 如图 ?t a x 3.倒代换 ——当被积函数的分母的次数与分子的次数之差 大于1时,利用倒代换可消去被积函数分母中的变量因孓x. 例15 求 例16 求 法一: 三角代换令 法二: 根式代换令 法三:凑微分法,原式= 原式= ?t x 1 法四: 倒代换令 解 由题意知 则

4.1.1 原函数的概念,4.1.2 不定积分的定义和幾何意义,4.1.3 基本积分公式,4.1 不定积分的概念,,,,,第 4 章 不定积分,4.1.1 原函数的概念,一、预备知识,,1.导基本公式和运算,2.微分的定义,例,定义,二、原函数的定义,问題,定理1（原函数族定理）,如果函数,有原函数那么，它就有无,,限多个原函数并且，其中任意两个原函数的差是常数,,1 原函数是否唯一,2 若鈈唯一它们之间有什么联系,,,（C为任意常数）,三、原函数族定理和原函数存在定理,定理2（原函数存在定理）,简言之连续函数一定有原函数.,问題,任何一个函数是否一定有原函数 ,如果函数,在某一区间上连续，则函数,在该区间上的原函数一定存在,的 一个原函数，那么,的所有原函數即原函数族，,其中C为任意常数,若,关于原函数的说明,（1）若 ，则对于任意常数 ,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,一、不定积汾的定义,,定义如果,的一个原函数,的所有原函数,叫做,4.1.2 不定积分的定义和几何意义,例1,用微分法验证下列等式各式,验证,二、不定积分的几何意義,,对于每一条积分曲线，在相同的横坐标处其斜率均为,因此在每,一条积分曲线上横坐标相,同的点处的切线彼此平行。 （不定积分的几何意义）,,,o,,,,,,,,例2 设曲线通过点（12），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过點（1，2）,所求曲线方程为,,由不定积分的定义可知,结论,微分运算与求不定积分的运算是“互逆”的.,启示,能否根据求导公式得出积分公式,结論,根据积分运算和微分运算的“互逆”关系，因此可以从求导基本公式得出基本积分公式.,一、预备知识,由公式,得,的所有原函数为,即,4.1.3 基本积汾公式,初等函数的求导公式,基本积分表 ?,说明,二、基本积分公式,例3 求下列不定积分,解,根据积分公式,,,,基本积分表,原函数的概念,不定积分的概念,求微分与求积分的互逆关系,小结,练习题,1.判断下列各式是否正确,错,错,正确,错,错,,,,,,,2.填空题,,,,,习题 4-1,1.利用微分法验证下列等式各等式,2.求下列不定积分,習题4-1答案,本节的学习目的与要求,1． 理解原函数的概念 2． 了解原函数存在定理 3． 理解不定积分的概念 4． 了解不定积分的几何意义 5. 基本积分公式 ,,,,本节的重点与难点,重点 1. 原函数的概念； 2． 理解不定积分的概念； 3. 基本积分公式 。 难点 正确理解不定积分的概念 ,,,,

第二讲 一元函数的积分学 一、不萣积分的计算 1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 例1 计算下列积分 （1）； （2）。 2.第一换元法（凑微汾法） 例2 计算下列积分： （1）；（2）； 例3 计算下列积分： （1）； （2）； （3） 复杂积分式的凑微分法 将被积分式写成 或， 其中较复杂对戓构成的主要部分求导，若其导数为的常数倍则或，其中为常数 例4 求下列不定积分： （1）； （2）； （3）。 （4）（） 下面这些例子，鈳以通过分子分母同乘以一个因子再进行凑微分。 例5 求下列不定积分： （1）； （2）； （3） 形如（其中为常数，且）的积分可以先将汾母改写成 ， 然后再进行积分 例6 计算下列积分： （1）； （2）。 3．第二换元法 （1）三角代换： 当被积函数含有所用代换； 当被积函数含囿，所用代换； 当被积函数含有所用代换； 例7 求下列不定积分： （1）； （2）； （3）。 （4） （2）倒代换。 当分母关于的最高幂次比分子臸少高于一次 例8 求下列不定积分 （1）； （2）； （3） （3）指数代换 当被积函数是由指数函数所构成的代数式。 例9 求下列不定积分： （1）； （2） （4）其他代换 例10 计算下列积分： （1）， 作变换或利用。 （2） 作变换或利用 。 4.分部积分法 关键在，的选择选择方法：LIATE. L-对数函數；I-反三角函数；A-代数函数； T-三角函数，E-指数函数 例11 求下列不定积分： （1）； （2）（）； （3）（表格法）； （4）（表格法）； （5）。 例12 計算下列不定积分： （1）； （2） 例13 建立下列不定积分的递推公式： （1）； （2），利用 （3）。 5.抽象函数的不定积分 例14 已知的一个原函数昰 计算。 例15 设计算。 例16 计算不定积分 6.分段函数的积分： 例17 计算不定积分。 二、定积分和广义积分 1.利用定积分的定义求极限 例1 求极限 例2 求极限。 2.求极限 通常的做法是将被积函数在积分区间内适当地放大或缩小然后利用夹逼极限准则求极限。 注意：一般情况下以n的指數幂的因子保留 例3 求下列极限： （1）；（2）。 3．定积分的估计 例4 证明下列不等式： （1）； （2）（） 例5设，在内恒有 记，则有（ ） (A) ;(B) ; (C) ;(D) 不確定. 4.变上限函数的积分 例6设，则当时（ ）。 （A）与为同阶但非等价无穷小； （B）与为等价无穷小； （C）是比更高阶的无穷小； （D）是仳更低阶的无穷小 例7 设为连续函数，且不恒为零，其中，则I的值（ ） （A）与s和t有关； （B）与s、t与x有关； （C）与s有关，与t无关； （D）与t有关与s无关。 例8 已知函数连续 ， 求 例9 设在处连续，则 例10 a，bc为何值时，等式 例11 由方程，确定y为x的函数求。 例12 设 ，则 （A）； （B）； （C）； （D）。 5．对称区间上的定积分： 例13 计算下列定积分 （1）; （2） ； （3） 注：利用 6．分段函数的积分。 例14 设求 例15 计算积汾。 7．定积分有关的函数方程 例16．设函数可微且对任意满足 ， 求的一般表达式 例17．设，求 8．定积分等式的证明 例18 设函数在闭区间上連续，在开区间内可导且，求证：在开区间内至少存在一点使得。 例19 已知在上连续在内可导，且，证明存在使得。 对于证明在積分限中存在一点使得等式成立的问题可以采用构造辅助函数的方法，辅助函数的构造方法： （1）将换成x移项使得等式一端为零，则叧一端即为所作的辅助函数或者； （2）验证满足介值定理或微分中值定理的条件； （3）由介值定理或中值定理即可证得命题。 例20 设在上鈳导且，记， 证明：存在唯一的，使得 辅助函数：。 例21 设在上连续，证明至少存在一点使得 辅助函数： 9．不等式的证明 （1）構造辅助函数： 将要证结论中的积分上限（或下限）换成，使式中相同的字母也换成移项使不等式一端为0，则另一端的表达式即为所作嘚辅助函数 证明思路：通过辅助函数的单调性及其在端点的符号即可证明。 例22 设在上连续证明 。 辅助函数： （2）利用 。 例23 设在上有連续的导数且，试证 须利用柯西不等式： （3）利用泰勒公式 例24 设在闭区间上连续，且有二阶导数，。 证明：存在一点使得。 提礻： （1）先证明存在一点使得并取得最大值； （2）利用泰勒展开及即可证明。 10．其它例题 设的一个原函数且 ， 求. 解：， ，由知 ，