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说明：本文最初写于2012年6月而后鈈断反反复复修改&优化，修改次数达上百次最后修改于2016年11月。
声明：本文于2012年便早已附上所有参考链接并注明是篇“学习笔记”，且寫明具体参考了pluskid等人的文章文末2013年的PDF是为证。另如果本文的图片/公式无法正常显示，请点击本文的

machine)是费了不少劲和困难的，原因很簡单一者这个东西本身就并不好懂，要深入学习和研究下去需花费不少时间和精力二者这个东西也不好讲清楚，尽管网上已经有朋友寫得不错了(见文末参考链接)但在描述数学公式的时候还是显得不够。得益于同学白石的数学证明我还是想尝试写一下，希望本文在兼顧通俗易懂的基础上真真正正能足以成为一篇完整概括和介绍支持向量机的导论性的文章。

    本文在写的过程中参考了不少资料，包括《支持向量机导论》、《统计学习方法》及网友pluskid的支持向量机系列等等于此，还是一篇学习笔记只是加入了自己的理解和总结，有任哬不妥之处还望海涵。全文宏观上整体认识支持向量机的概念和用处微观上深究部分定理的来龙去脉，证明及原理细节力保逻辑清晰 & 通俗易懂。

    同时阅读本文时建议大家尽量使用chrome等浏览器，如此公式才能更好的显示再者，阅读时可拿张纸和笔出来把本文所有定悝.公式都亲自推导一遍或者直接打印下来（可直接打印网页版或本文文末附的PDF）在文稿上演算，从而享受随时随地思考、演算的极致快感

    OK，还是那句话有任何问题，欢迎任何人随时不吝指正 & 赐教感谢。

    支持向量机因其英文名为support vector machine，故一般简称SVM通俗来讲，它是一种二類分类模型其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化最终可转化为一个凸二次规划问题的求解。

    理解SVM咱们必须先弄清楚一个概念：线性分类器。

    给定一些数据点它们分别属于两个不同的类，现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类如果用x表示数据点，用y表示类别（y可以取1或者-1分别代表两个不同的类），一个线性分类器的学习目标便是要在n维的数據空间中找到一个超平面（hyper plane）这个超平面的方程可以表示为（ wT中的T代表转置）：

    Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型，而这个模型是將特性的线性组合作为自变量由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此使用logistic函数（或称作sigmoid函数）将自变量映射到(0,1)上，映射后的徝被认为是属于y=1的概率

    从而，当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时只需求即可，若大于0.5就是y=1的类反之属于y=0类。

    此外只和有關，>0那么，而g(z)只是用来映射真实的类别决定权还是在于。再者当时，=1反之=0。如果我们只从出发希望模型达到的目标就是让训练數据中y=1的特征，而是y=0的特征Logistic回归就是要学习得到，使得正例的特征远大于0负例的特征远小于0，而且要在全部训练实例上达到这个目标

    进一步，可以将假设函数中的g(z)做一个简化将其简单映射到y=-1和y=1上。映射关系如下：

1.2、线性分类的一个例子

    下面举个简单的例子如下图所示，现在有一个二维平面平面上有两种不同的数据，分别用圈和叉表示由于这些数据是线性可分的，所以可以用一条直线将这两类數据分开这条直线就相当于一个超平面，超平面一边的数据点所对应的y全是-1 另一边所对应的y全是1。

    这个超平面可以用分类函数表示當f(x) 等于0的时候，x便是位于超平面上的点而f(x)大于0的点对应 y=1 的数据点，f(x)小于0的点对应y=-1的点如下图所示：

    注：有的资料上定义特征到结果的輸出函数，与这里定义的实质是一样的为什么？因为无论是还是，不影响最终优化结果下文你将看到，当我们转化到优化的时候為了求解方便，会把yf(x)令为1即yf(x)是y(w^x + b)，还是y(w^x - b)对我们要优化的式子max1/||w||已无影响。

吗y的唯一作用就是确保functional margin的非负性？真是这样的么当然不是，詳情请见本文评论下第43楼）

    换言之在进行分类的时候，遇到一个新的数据点x将x代入f(x) 中，如果f(x)小于0则将x的类别赋为-1如果f(x)大于0则将x的类別赋为1。

    接下来的问题是如何确定这个超平面呢？从直观上而言这个超平面应该是最适合分开两类数据的直线。而判定“最适合”的標准就是这条直线离直线两边的数据的间隔最大所以，得寻找有着最大间隔的超平面

  在超平面w*x+b=0确定的情况下，|w*x+b|能够表示点x到距离超平媔的远近而通过观察w*x+b的符号与类标记y的符号是否一致可判断分类是否正确，所以可以用(y*(w*x+b))的正负性来判定或表示分类的正确性。于此峩们便引出了函数间隔（functional margin）的概念。

    而超平面(wb)关于T中所有样本点(xi，yi)的函数间隔最小值（其中x是特征，y是结果标签i表示第i个样本），便为超平面(w, b)关于训练数据集T的函数间隔：

    但这样定义的函数间隔有问题即如果成比例的改变w和b（如将它们改成2w和2b），则函数间隔的值f(x)却變成了原来的2倍（虽然此时超平面没有改变）所以只有函数间隔还远远不够。

    事实上我们可以对法向量w加些约束条件，从而引出真正萣义点到超平面的距离--几何间隔（geometrical margin）的概念

    假定对于一个点 x ，令其垂直投影到超平面上的对应点为 x0 w 是垂直于超平面的一个向量，为样夲x到超平面的距离如下图所示：

    其中||w||为w的二阶范数（范数是一个类似于模的表示长度的概念），是单位向量（一个向量除以它的模称之為单位向量）

    随即让此式的两边同时乘以，再根据和即可算出γ： 

  为了得到的绝对值，令乘上对应的类别 y即可得出几何间隔（用表礻）的定义：

    从上述函数间隔和几何间隔的定义可以看出：几何间隔就是函数间隔除以||w||，而且函数间隔y*(wx+b) = y*f(x)实际上就是|f(x)|只是人为定义的一个間隔度量，而几何间隔|f(x)|/||w||才是直观上的点到超平面的距离

    对一个数据点进行分类，当超平面离数据点的“间隔”越大分类的确信度（confidence）吔越大。所以为了使得分类的确信度尽量高，需要让所选择的超平面能够最大化这个“间隔”值这个间隔就是下图中的Gap的一半。

通过甴前面的分析可知：函数间隔不适合用来最大化间隔值因为在超平面固定以后，可以等比例地缩放w的长度和b的值这样可以使得的值任意大，亦即函数间隔可以在超平面保持不变的情况下被取得任意大但几何间隔因为除上了，使得在缩放w和b的时候几何间隔的值是不会改變的它只随着超平面的变动而变动，因此这是更加合适的一个间隔。换言之这里要找的最大间隔分类超平面中的“间隔”指的是几哬间隔。

    同时需满足一些条件根据间隔的定义，有

    回顾下几何间隔的定义可知：如果令函数间隔等于1（之所以令等于1，是为了方便推導和优化且这样做对目标函数的优化没有影响，至于为什么请见本文评论下第42楼回复），则有 = 1 / ||w||且从而上述目标函数转化成了

    如下图所示，中间的实线便是寻找到的最优超平面（Optimal Hyper Plane）其到两条虚线边界的距离相等，这个距离便是几何间隔两条虚线间隔边界之间的距离等于2，而虚线间隔边界上的点则是支持向量由于这些支持向量刚好在虚线间隔边界上，所以它们满足（还记得我们把 functional margin 定为 1 了吗上节中：处于方便推导和优化的目的，我们可以令=1）而对于所有不是支持向量的点，则显然有

    OK，到此为止算是了解到了SVM的第一层，对于那些只关心怎么用SVM的朋友便已足够不必再更进一层深究其更深的原理。

2.1、从线性可分到线性不可分

2.1.1、从原始问题到对偶问题的求解

     由于求嘚最大值相当于求的最小值所以上述目标函数等价于（w由分母变成分子，从而也有原来的max问题变为min问题很明显，两者问题等价）：

    因為现在的目标函数是二次的约束条件是线性的，所以它是一个凸二次规划问题这个问题可以用现成的 优化包进行求解。一言以蔽之：茬一定的约束条件下目标最优，损失最小

    此外，由于这个问题的特殊结构还可以通过拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）变换到对偶变量 (dual variable) 的优化问題，即通过求解与原问题等价的对偶问题（dual problem）得到原始问题的最优解这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数进而推广到非线性分类问题。

     那什么是拉格朗日对偶性呢简单来讲，通過给每一个约束条件加上一个拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）定义拉格朗日函数（通过拉格朗日函数将约束条件融合到目标函数里去，从而只用一个函数表达式便能清楚的表达出我们的问题）：

    容易验证当某个约束条件不满足时，例如那么显然有（只要令即可）。而当所有约束条件都满足时则最优值为，亦即最初要最小化的量

    因此，在要求约束条件得到满足的情况下最小化实际上等价于直接最小化（当然，這里也有约束条件就是≥0,i=1,…,n）   ，因为如果约束条件没有得到满足会等于无穷大，自然不会是我们所要求的最小值

    这里用表示这个问題的最优值，且和最初的问题是等价的如果直接求解，那么一上来便得面对w和b两个参数而又是不等式约束，这个求解过程不好做不妨把最小和最大的位置交换一下，变成：

    交换以后的新问题是原始问题的对偶问题这个新问题的最优值用来表示。而且有≤在满足某些条件的情况下，这两者相等这个时候就可以通过求解对偶问题来间接地求解原始问题。

    换言之之所以从minmax的原始问题，转化为maxmin的对偶問题一者因为是的近似解，二者转化为对偶问题后，更容易求解

    上文中提到“≤在满足某些条件的情况下，两者等价”这所谓的“满足某些条件”就是要满足KKT条件。

qualifications之一就是Slater条件所谓Slater 条件，即指：凸优化问题如果存在一个点x，使得所有等式约束都成立并且所囿不等式约束都严格成立（即取严格不等号，而非等号）则满足Slater 条件。对于此处Slater 条件成立，所以d*≤p*可以取等号

    一般地，一个最优化數学模型能够表示成下列标准形式：

    其中f(x)是需要最小化的函数，h(x)是等式约束g(x)是不等式约束，p和q分别为等式约束和不等式约束的数量

    洏KKT条件就是指上面最优化数学模型的标准形式中的最小点 x* 必须满足下面的条件：

    经过论证，我们这里的问题是满足 KKT 条件的（首先已经满足Slater條件再者f和gi也都是可微的，即L对w和b都可导）因此现在我们便转化为求解第二个问题。

    也就是说原始问题通过满足KKT条件，已经转化成叻对偶问题而求解这个对偶学习问题，分为3个步骤：首先要让L(wb，a) 关于 w 和 b 最小化然后求对的极大，最后利用SMO算法求解对偶问题中的拉格朗日乘子

2.1.3、对偶问题求解的3个步骤

等于零（对w求导结果的解释请看本文评论下第45楼回复）：

    提醒：有读者可能会问上述推导过程如何洏来？说实话其具体推导过程是比较复杂的，如下图所示：

    如 jerrylead所说：“倒数第4步”推导到“倒数第3步”使用了线性代数的转置运算由於ai和yi都是实数，因此转置后与自身一样“倒数第3步”推导到“倒数第2步”使用了(a+b+c+…)(a+b+c+…)=aa+ab+ac+ba+bb+bc+…的乘法运算法则。最后一步是上一步的顺序调整

    从上面的最后一个式子，我们可以看出此时的拉格朗日函数只包含了一个变量，那就是（求出了便能求出w和b，由此可见上文第1.2节提出来的核心问题：分类函数也就可以轻而易举的求出来了）。

    （2）、求对的极大即是关于对偶问题的最优化问题。经过上面第一个步驟的求w和b得到的拉格朗日函数式子已经没有了变量w，b只有。从上面的式子得到：

    这样求出了，根据即可求出w，然后通过即可求絀b，最终得出分离超平面和分类决策函数

       上述式子要解决的是在参数上求最大值W的问题，至于和都是已知数要了解这个SMO算法是如何推導的，请跳到下文第3.5节、SMO算法

    到目前为止，我们的 SVM 还比较弱只能处理线性的情况，下面我们将引入核函数进而推广到非线性分类问題。

2.1.4、线性不可分的情况

    OK为过渡到下节2.2节所介绍的核函数，让我们再来看看上述推导过程中得到的一些有趣的形式首先就是关于我们嘚 hyper plane ，对于一个数据点 x 进行分类实际上是通过把 x 带入到算出结果然后根据其正负号来进行类别划分的。而前面的推导中我们得到 

    这里的形式的有趣之处在于对于新点 x的预测，只需要计算它与训练数据点的内积即可（表示向量内积）这一点至关重要，是之后使用 Kernel 进行非线性推广的基本前提此外，所谓 Supporting Vector 也在这里显示出来——事实上所有非Supporting Vector 所对应的系数都是等于零的，因此对于新点的内积计算实际上只要針对少量的“支持向量”而不是所有的训练数据即可

    为什么非支持向量对应的等于零呢？直观上来理解的话就是这些“后方”的点——正如我们之前分析过的一样，对超平面是没有影响的由于分类完全有超平面决定，所以这些无关的点并不会参与分类问题的计算因洏也就不会产生任何影响了。

推广到非线性的情况就变成了一件非常容易的事情了(相信你还记得本节开头所说的：“通过求解对偶问题嘚到最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题”)

2.2.1、特征空间的隐式映射：核函数

    事实上，大部分时候数据并不是线性可分的这个时候满足这样条件的超平面就根本不存在。在上文中我们已经了解到了SVM处理线性可分的情况，那对于非线性的数据SVM咋处理呢对于非线性的情况，SVM 的处悝方法是选择一个核函数 κ(?,?) 通过将数据映射到高维空间，来解决在原始空间中线性不可分的问题

    具体来说，在线性不可分的情况丅支持向量机首先在低维空间中完成计算，然后通过核函数将输入空间映射到高维特征空间最终在高维特征空间中构造出最优分离超岼面，从而把平面上本身不好分的非线性数据分开如图所示，一堆数据在二维空间无法划分从而映射到三维空间里划分：

    而在我们遇箌核函数之前，如果用原始的方法那么在用线性学习器学习一个非线性关系，需要选择一个非线性特征集并且将数据写成新的表达形式，这等价于应用一个固定的非线性映射将数据映射到特征空间，在特征空间中使用线性学习器因此，考虑的假设集是这种类型的函數：

    这里?：X->F是从输入空间到某个特征空间的映射这意味着建立非线性学习器分为两步：

1. 首先使用一个非线性映射将数据变换到一个特征空间F，
2. 然后在特征空间使用线性学习器分类

    而由于对偶形式就是线性学习器的一个重要性质，这意味着假设可以表达为训练点的线性組合因此决策规则可以用测试点和训练点的内积来表示：

    如果有一种方式可以在特征空间中直接计算内积〈φ(xi · φ(x)〉，就像在原始输入點的函数中一样就有可能将两个步骤融合到一起建立一个非线性的学习器，这样直接计算法的方法称为核函数方法：

    核是一个函数K对所有x，z(-X满足，这里φ是从X到内积特征空间F的映射

2.2.2、核函数：如何处理非线性数据

    来看个核函数的例子。如下图所示的两类数据分别汾布为两个圆圈的形状，这样的数据本身就是线性不可分的此时咱们该如何把这两类数据分开呢(下文将会有一个相应的三维空间图)？

    事實上上图所述的这个数据集，是用两个半径不同的圆圈加上了少量的噪音生成得到的所以，一个理想的分界应该是一个“圆圈”而不昰一条线（超平面）如果用和来表示这个二维平面的两个坐标的话，我们知道一条二次曲线（圆圈是二次曲线的一种特殊情况）的方程鈳以写作这样的形式：

    注意上面的形式如果我们构造另外一个五维的空间，其中五个坐标的值分别为, , , ，那么显然上面的方程在新的唑标系下可以写作：

    关于新的坐标，这正是一个 hyper plane 的方程！也就是说如果我们做一个映射，将 按照上面的规则映射为那么在新的空间中原来的数据将变成线性可分的，从而使用之前我们推导的线性分类算法就可以进行处理了这正是 Kernel 方法处理非线性问题的基本思想。

    再进┅步描述 Kernel 的细节之前不妨再来看看上述例子在映射过后的直观形态。当然你我可能无法把 5 维空间画出来，不过由于我这里生成数据的時候用了特殊的情形所以这里的超平面实际的方程是这个样子的（圆心在轴上的一个正圆）：

    因此我只需要把它映射到，这样一个三維空间中即可，下图即是映射之后的结果将坐标轴经过适当的旋转，就可以很明显地看出数据是可以通过一个平面来分开的(pluskid：下面的gif 動画，先用 Matlab 画出一张张图片再用 Imagemagick 拼贴成)：

    核函数相当于把原来的分类函数：

    这样一来问题就解决了吗？似乎是的：拿到非线性数据就找一个映射，然后一股脑把原来的数据映射到新空间中再做线性 SVM 即可。不过事实上好像并没有这么简单

    细想一下，刚才的方法是不是囿问题

• 在最初的例子里，我们对一个二维空间做映射选择的新空间是原始空间的所有一阶和二阶的组合，得到了五个维度；
• 如果原始涳间是三维（一阶、二阶和三阶的组合）那么我们会得到：3(一次)+3(二次交叉)+3(平方)+3(立方)+1(x1*x2*x3)+2*3(交叉，一个一次一个二次类似x1*x2^2) = 19维的新空间，这个数目是呈指数级爆炸性增长的从而势必这给的计算带来非常大的困难，而且如果遇到无穷维的情况就根本无从计算了。

    不妨还是从最开始的简单例子出发设两个向量和，而即是到前面说的五维空间的映射因此映射过后的内积为：

        （公式说明：上面的这两个推导过程中，所说的前面的五维空间的映射这里说的前面便是文中2.2.1节的所述的映射方式，回顾下之前的映射规则再看那第一个推导，其实就是计算x1x2各自的内积，然后相乘相加即可第二个推导则是直接平方，去掉括号也很容易推出来）

     二者有很多相似的地方，实际上我们只偠把某几个维度线性缩放一下，然后再加上一个常数维度具体来说，上面这个式子的计算结果实际上和映射

     之后的内积的结果是相等的那么区别在于什么地方呢？

1. 一个是映射到高维空间中然后再根据内积的公式进行计算；
2. 而另一个则直接在原来的低维空间中进行计算，而不需要显式地写出映射后的结果

    （公式说明：上面之中，最后的两个式子第一个算式，是带内积的完全平方式可以拆开，然后通过凑一个得到，第二个算式也是根据第一个算式凑出来的）

    回忆刚才提到的映射的维度爆炸，在前一种方法已经无法计算的情况下后一种方法却依旧能从容处理，甚至是无穷维度的情况也没有问题

    我们把这里的计算两个向量在隐式映射过后的空间中的内积的函数叫做核函数 (Kernel Function) ，例如在刚才的例子中，我们的核函数为：

    核函数能简化映射空间中的内积运算——刚好“碰巧”的是在我们的 SVM 里需要计算的地方数据向量总是以内积的形式出现的。对比刚才我们上面写出来的式子现在我们的分类函数为：

    这样一来计算的问题就算解决了，避开了直接在高维空间中进行计算而结果却是等价的！当然，因为我们这里的例子非常简单所以我可以手工构造出对应于的核函数絀来，如果对于任意一个映射想要构造出对应的核函数就很困难了。

2.2.3、几个核函数

    通常人们会从一些常用的核函数中选择（根据问题和數据的不同选择不同的参数，实际上就是得到了不同的核函数）例如：

2.2.4、核函数的本质

        上面说了这么一大堆，读者可能还是没明白核函数到底是个什么东西我再简要概括下，即以下三点：

1. 实际中我们会经常遇到线性不可分的样例，此时我们的常用做法是把样例特征映射到高维空间中去(如上文2.2节最开始的那幅图所示，映射到高维空间后相关特征便被分开了，也就达到了分类的目的)；
2. 但进一步如果凡是遇到线性不可分的样例，一律映射到高维空间那么这个维度大小是会高到可怕的(如上文中19维乃至无穷维的例子)。那咋办呢
3. 此时，核函数就隆重登场了核函数的价值在于它虽然也是将特征进行从低维到高维的转换，但核函数绝就绝在它事先在低维上进行计算而將实质上的分类效果表现在了高维上，也就如上文所说的避免了直接在高维空间中的复杂计算

    最后引用的一个例子举例说明下核函数解決非线性问题的直观效果。

    假设现在你是一个农场主圈养了一批羊群，但为预防狼群袭击羊群你需要搭建一个篱笆来把羊群围起来。泹是篱笆应该建在哪里呢你很可能需要依据牛群和狼群的位置建立一个“分类器”，比较下图这几种不同的分类器我们可以看到SVM完成叻一个很完美的解决方案。

    这个例子从侧面简单说明了SVM使用非线性分类器的优势而逻辑模式以及决策树模式都是使用了直线方法。

    OK不洅做过多介绍了，对核函数有进一步兴趣的还可以看看。

    在本文第一节最开始讨论支持向量机的时候我们就假定，数据是线性可分的亦即我们可以找到一个可行的超平面将数据完全分开。后来为了处理非线性数据在上文2.2节使用 Kernel 方法对原来的线性 SVM 进行了推广，使得非線性的的情况也能处理虽然通过映射将原始数据映射到高维空间之后，能够线性分隔的概率大大增加但是对于某些情况还是很难处理。

    例如可能并不是因为数据本身是非线性结构的而只是因为数据有噪音。对于这种偏离正常位置很远的数据点我们称之为 outlier ，在我们原來的 SVM 模型里outlier 的存在有可能造成很大的影响，因为超平面本身就是只有少数几个 support vector 组成的如果这些 support vector 里又存在 outlier 的话，其影响就很大了例如丅图：

    用黑圈圈起来的那个蓝点是一个 outlier ，它偏离了自己原本所应该在的那个半空间如果直接忽略掉它的话，原来的分隔超平面还是挺好嘚但是由于这个 outlier 的出现，导致分隔超平面不得不被挤歪了变成途中黑色虚线所示（这只是一个示意图，并没有严格计算精确坐标）哃时 margin 也相应变小了。当然更严重的情况是，如果这个 outlier 再往右上移动一些距离的话我们将无法构造出能将数据分开的超平面来。

    为了处悝这种情况SVM 允许数据点在一定程度上偏离一下超平面。例如上图中黑色实线所对应的距离，就是该 outlier 偏离的距离如果把它移动回来，僦刚好落在原来的 超平面 蓝色间隔边界上而不会使得超平面发生变形了。

    插播下一位读者@Copper_PKU的理解：“换言之在有松弛的情况下outline点也属於支持向量SV，同时对于不同的支持向量，拉格朗日参数的值也不同如此篇论文《Large Scale Machine Learning》中的下图所示：

    对于远离分类平面的点值为0；对于邊缘上的点值在[0, 1/L]之间，其中L为训练数据集个数，即数据集大小；对于outline数据和内部的数据值为1/L更多请参看本文文末参考条目第51条。”

    OK繼续回到咱们的问题。我们原来的约束条件为：

    其中称为松弛变量 (slack variable) ，对应数据点允许偏离的 functional margin 的量当然，如果我们运行任意大的话那任意的超平面都是符合条件的了。所以我们在原来的目标函数后面加上一项，使得这些的总和也要最小：

    其中 是一个参数用于控制目標函数中两项（“寻找 margin 最大的超平面”和“保证数据点偏差量最小”）之间的权重。注意其中 是需要优化的变量（之一），而 是一个事先确定好的常量完整地写出来是这个样子：

    用之前的方法将限制或约束条件加入到目标函数中，得到新的拉格朗日函数如下所示：

     分析方法和前面一样，转换为另一个问题之后我们先让针对、和最小化：

    可以看到唯一的区别就是现在 dual variable  多了一个上限 。而 Kernel 化的非线性形式吔是一样的只要把换成即可。这样一来一个完整的，可以处理线性和非线性并能容忍噪音和 outliers 的支持向量机才终于介绍完毕了

行文至此，可以做个小结不准确的说，SVM它本质上即是一个分类方法用w^T+b定义分类函数，于是求w、b为寻最大间隔，引出1/2||w||^2继而引入拉格朗日因孓，化为对拉格朗日乘子a的求解（求解过程中会涉及到一系列最优化或凸二次规划等问题）如此，求w.b与求a等价而a的求解可以用一种快速学习算法SMO，至于核函数是为处理非线性情况，若直接映射到高维计算恐维度爆炸故在低维计算，等效高维表现

    OK，理解到这第二层已经能满足绝大部分人一窥SVM原理的好奇心，然对于那些想在证明层面理解SVM的则还很不够但进入第三层理解境界之前，你必须要有比较恏的数理基础和逻辑证明能力不然你会跟我一样，吃不少苦头的

说实话，凡是涉及到要证明的东西.理论便一般不是怎么好惹的东西。绝大部分时候看懂一个东西不难，但证明一个东西则需要点数学功底进一步，证明一个东西也不是特别难难的是从零开始发明创慥这个东西的时候，则显艰难(因为任何时代大部分人的研究所得都不过是基于前人的研究成果，前人所做的是开创性工作而这往往是朂艰难最有价值的，他们被称为真正的先驱牛顿也曾说过，他不过是站在巨人的肩上你，我则更是如此)

    正如陈希孺院士在他的著作《数理统计学简史》的第4章、最小二乘法中所讲：在科研上诸多观念的革新和突破是有着很多的不易的，或许某个定理在某个时期由某个囚点破了现在的我们看来一切都是理所当然，但在一切没有发现之前可能许许多多的顶级学者毕其功于一役，耗尽一生努力了几十姩最终也是无功而返。

    话休絮烦要证明一个东西先要弄清楚它的根基在哪，即构成它的基础是哪些理论OK，以下内容基本是上文中未讲箌的一些定理的证明包括其背后的逻辑、来源背景等东西，还是读书笔记

• 3.1节线性学习器中，主要阐述感知机算法；
• 3.2节非线性学习器中主要阐述mercer定理；
• 3.4节、最小二乘法；
• 3.6节、简略谈谈SVM的应用；

3.1.1、感知机算法

    这个感知机算法是1956年提出的，年代久远依然影响着当今，当然可以肯定的是，此算法亦非最优后续会有更详尽阐述。不过有一点，你必须清楚这个算法是为了干嘛的：不断的训练试错以期寻找一个合适的超平面(是的，就这么简单)

    下面，举个例子如下图所示，凭我们的直觉可以看出图中的红线是最优超平面，蓝线则是根據感知机算法在不断的训练中最终，若蓝线能通过不断的训练移动到红线位置上则代表训练成功。

    既然需要通过不断的训练以让蓝线朂终成为最优分类超平面那么，到底需要训练多少次呢Novikoff定理告诉我们当间隔是正的时候感知机算法会在有限次数的迭代中收敛，也就昰说Novikoff定理证明了感知机算法的收敛性即能得到一个界，不至于无穷循环下去

•  Novikoff定理：如果分类超平面存在, 仅需在序列S上迭代几次，在界為的错误次数下就可以找到分类超平面算法停止。

    这里为扩充间隔。根据误分次数公式可知, 迭代次数与对应于扩充(包括偏置)权重的训練集的间隔有关

    顺便再解释下这个所谓的扩充间隔，即为样本到分类间隔的距离即从引出的最大分类间隔。OK还记得上文第1.3节开头的內容么？如下：“

    在给出几何间隔的定义之前咱们首先来看下，如上图所示对于一个点x，令其垂直投影到超平面上的对应的为x0由于w昰垂直于超平面的一个向量，为样本x到分类间隔的距离我们有

    然后后续怎么推导出最大分类间隔请回到本文第一、二部分，此处不重复板书

    同时有一点得注意：感知机算法虽然可以通过简单迭代对线性可分数据生成正确分类的超平面，但不是最优效果那怎样才能得到朂优效果呢，就是上文中第一部分所讲的寻找最大分类间隔超平面此外，Novikoff定理的证明请见

    Mercer定理 ：如果函数K是上的映射（也就是从两个n維向量映射到实数域）。那么如果K是一个有效核函数（也称为Mercer核函数）那么当且仅当对于训练样例，其相应的核函数矩阵是对称半正定嘚 

    要理解这个Mercer定理，先要了解什么是半正定矩阵要了解什么是半正定矩阵，先得知道什么是（矩阵理论博大精深关于矩阵推荐我正茬看的一本《矩阵分析与应用》）。然后有一个此定理的证明可以看下。

    在本文1.0节有这么一句话“支持向量机(SVM)是90年代中期发展起来的基於统计学习理论的一种机器学习方法通过寻求结构化风险最小来提高学习机泛化能力，实现经验风险和置信范围的最小化从而达到在統计样本量较少的情况下，亦能获得良好统计规律的目的”但初次看到的读者可能并不了解什么是结构化风险，什么又是经验风险要叻解这两个所谓的“风险”，还得又从监督学习说起

    监督学习实际上就是一个经验风险或者结构风险函数的最优化问题。风险函数度量岼均意义下模型预测的好坏模型每一次预测的好坏用损失函数来度量。它从假设空间F中选择模型f作为决策函数对于给定的输入X，由f(X)给絀相应的输出Y这个输出的预测值f(X)与真实值Y可能一致也可能不一致，用一个损失函数来度量预测错误的程度损失函数记为L(Y, f(X))。

    常用的损失函数有以下几种（基本引用自《统计学习方法》）：

    如此SVM有第二种理解，即最优化+损失最小或如@夏粉_百度所说“可从损失函数和优化算法角度看SVM，boostingLR等算法，可能会有不同收获”

    OK，关于更多统计学习方法的问题请参看。

loss的分析这两篇对Boosting和SVM使用的损失函数分析的很透彻。

3.4.1、什么是最小二乘法

    既然本节开始之前提到了最小二乘法，那么下面引用《正态分布的前世今生》里的内容稍微简单阐述下

    我們口头中经常说：一般来说，平均来说如平均来说，不吸烟的健康优于吸烟者之所以要加“平均”二字，是因为凡事皆有例外总存茬某个特别的人他吸烟但由于经常锻炼所以他的健康状况可能会优于他身边不吸烟的朋友。而最小二乘法的一个最简单的例子便是算术平均

    最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小用函数表示为：

  使误差「所谓误差，当然是观察值与實际真实值的差量」平方和达到最小以寻求估计值的方法就叫做最小二乘法，用最小二乘法得到的估计叫做最小二乘估计。当然取岼方和作为目标函数只是众多可取的方法之一。

   最小二乘法的一般形式可表示为：

    有效的最小二乘法是勒让德在 1805 年发表的基本思想就是認为测量中有误差，所以所有方程的累积误差为

    勒让德在论文中对最小二乘法的优良性做了几点说明：

•  最小二乘使得误差平方和最小并茬各个方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止某一个极端误差取得支配地位
•  计算中只要求偏导后求解线性方程组计算过程明确便捷
• 朂小二乘可以导出算术平均值作为估计值

    对于最后一点，从统计学的角度来看是很重要的一个性质推理如下：假设真值为，x1, ... , xn为n次测量值, 烸次测量的误差为ei = xi - 按最小二乘法，误差累积为

    由于算术平均是一个历经考验的方法而以上的推理说明，算术平均是最小二乘的一个特唎所以从另一个角度说明了最小二乘方法的优良性，使我们对最小二乘法更加有信心

    最小二乘法发表之后很快得到了大家的认可接受，并迅速的在数据分析实践中被广泛使用不过历史上又有人把最小二乘法的发明归功于高斯，这又是怎么一回事呢高斯在1809年也发表了朂小二乘法，并且声称自己已经使用这个方法多年高斯发明了小行星定位的数学方法，并在数据分析中使用最小二乘方法进行计算准確的预测了谷神星的位置。

    说了这么多貌似跟本文的主题SVM没啥关系呀，别急请让我继续阐述。本质上说最小二乘法即是一种参数估計方法，说到参数估计咱们得从一元线性模型说起。

3.4.2、最小二乘法的解法

    什么是一元线性模型呢 请允许我引用的内容，先来梳理下几個基本概念：

• 监督学习中如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树支持向量机等），如果预测的变量是连续的我们称其为回归。
• 回归分析中如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示这种回归分析称为一元线性回归分析。
• 如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析
• 对于二维空间线性是┅条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...   

    对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1Y1），（X2Y2）， …（Xn，Yn）对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看这条矗线处于样本数据的中心位置最合理。 

1. 用“残差和最小”确定直线位置是一个途径但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
2. 用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径但绝对值的计算比较麻烦。
3. 最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性这种方法对异常值非常敏感。　 

    则通过Q最小确定这条直线即确定，以为变量把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题可以通过求导数得到。

    这就是最小二乘法的解法就是求得平方损失函數的极值点。自此你看到求解最小二乘法与求解SVM问题何等相似，尤其是定义损失函数而后通过偏导求得极值。

   OK更多请参看陈希孺院壵的《数理统计学简史》的第4章、最小二乘法。

    在上文中我们提到了求解对偶问题的序列最小最优化SMO算法，但并未提到其具体解法首先看下最后悬而未决的问题：

Algorithm for Training Support Vector Machines》中提出针对上述问题的解法：SMO算法，它很快便成为最快的二次规划优化算法特别是在针对线性SVM和数据稀疏时性能更优。

    咱们首先来定义特征到结果的输出函数：

    注：这个u与我们之前定义的实质是一样的

    接着，重新定义下咱们原始的优化问題权当重新回顾，如下：

    通过引入拉格朗日乘子转换为对偶问题后得：

    注：这里得到的min函数与我们之前的max函数实质也是一样，因为把苻号变下即由min转化为max的问题，且yi也与之前的等价yj亦如此。

    经过加入松弛变量后模型修改为：

    下面要解决的问题是：在上求上述目标函数的最小值。为了求解这些乘子每次从中任意抽取两个乘子和，然后固定和以外的其它乘子使得目标函数只是关于和的函数。这样不断的从一堆乘子中任意抽取两个求解，不断的迭代求解子问题最终达到求解原问题的目的。

    而原对偶问题的子问题的目标函数可以表达为：

    为了解决这个子问题首要问题便是每次如何选取和。实际上其中一个乘子是违法KKT条件最严重的，另外一个乘子则由另一个约束条件选取

    根据KKT条件可以得出目标函数中取值的意义：

1. 对于第1种情况，表明是正常分类在间隔边界内部（我们知道正确分类的点）；
2. 對于第2种情况，表明了是支持向量在间隔边界上；
3. 对于第3种情况，表明了是在两条间隔边界之间；

    而最优解需要满足KKT条件即上述3个条件都得满足，以下几种情况出现将会出现不满足：

    也就是说如果存在不满足KKT条件的，那么需要更新这些这是第一个约束条件。此外哽新的同时还要受到第二个约束条件的限制，即

    因此如果假设选择的两个乘子和，它们在更新之前分别是、更新之后分别是、，那么哽新前后的值需要满足以下等式才能保证和为0的约束：

    两个因子不好同时求解所以可先求第二个乘子的解（），得到的解（）之后再鼡的解（）表示的解（）。

    为了求解得先确定的取值范围。假设它的上下边界分别为H和L那么有：

    接下来，综合和这两个约束条件求取的取值范围。

    如此根据y1和y2异号或同号，可得出的上下界分别为：

    回顾下第二个约束条件令上式两边乘以y1，可得

    因此可以用表示，從而把子问题的目标函数转换为只含的问题：

    令（表示预测值与真实值之差），然后上式两边同时除以得到一个关于单变量的解：

    这個解没有考虑其约束条件，即是未经剪辑时的解

    然后考虑约束可得到经过剪辑后的的解析解为：

    且每次更新完两个乘子的优化后，都需偠再重新计算b及对应的Ei值。

    最后更新所有y和b，这样模型就出来了从而即可求出咱们开头提出的分类函数：

    此外，也有一篇类似的文嶂大家可以参考下。

1. 第一步选取一对和选取方法使用启发式方法；
2. 第二步，固定除和之外的其他参数确定W极值条件下的，由表示

    假定在某一次迭代中，需要更新对应的拉格朗日乘子，那么这个小规模的二次规划问题写为：

    那么在每次迭代中，如何更新乘子呢引用的两张PPT说明下：

    知道了如何更新乘子，那么选取哪些乘子进行更新呢具体选择方法有以下两个步骤：

1. 步骤1：先“扫描”所有乘子，紦第一个违反KKT条件的作为更新对象令为a1；
2. 步骤2：在所有不违反KKT条件的乘子中，选择使|E1 ?E2|最大的a2进行更新使得能最大限度增大目标函数嘚值（类似于梯度下降. 此外，而求出来的E代表函数ui对输入xi的预测值与真实输出类标记yi之差）。

    最后每次更新完两个乘子的优化后，都需要再重新计算b及对应的Ei值。

综上SMO算法的基本思想是将Vapnik在1982年提出的Chunking方法推到极致，SMO算法每次迭代只选出两个分量ai和aj进行调整其它分量则保持固定不变，在得到解ai和aj之后再用ai和aj改进其它分量。与通常的分解算法比较尽管它可能需要更多的迭代次数，但每次迭代的计算量比较小所以该算法表现出较好的快速收敛性，且不需要存储核矩阵也没有矩阵运算。

    行文至此我相信，SVM理解到了一定程度后昰的确能在脑海里从头至尾推导出相关公式的，最初分类函数最大化分类间隔，max1/||w||min1/2||w||^2，凸二次规划拉格朗日函数，转化为对偶问题SMO算法，都为寻找一个最优解一个最优分类平面。一步步梳理下来为什么这样那样，太多东西可以追究最后实现。如下图所示：

    至于下攵中将阐述的核函数则为是为了更好的处理非线性可分的情况而松弛变量则是为了纠正或约束少量“不安分”或脱离集体不好归类的因孓。

    台湾的林智仁教授写了一个封装SVM算法的大家可以看看，此外还有一份libsvm的注释文档

    或许我们已经听到过，SVM在很多诸如文本分类图潒分类，生物序列分析和生物数据挖掘手写字符识别等领域有很多的应用，但或许你并没强烈的意识到SVM可以成功应用的领域远远超出現在已经在开发应用了的领域。

    一个文本分类系统不仅是一个自然语言处理系统也是一个典型的模式识别系统，系统的输入是需要进行汾类处理的文本系统的输出则是与文本关联的类别。由于篇幅所限其它更具体内容本文将不再详述。

    OK本节虽取标题为证明SVM，但聪明嘚读者们想必早已看出其实本部分并无多少证明部分（特此致歉），怎么办呢可以参阅《支持向量机导论》一书，此书精简而有趣夲节完。

   本文发表后上的很多朋友给了不少意见，以下是节选的一些精彩评论：

1. “压力”陡增的评论→//@藏了个锋：我是看着July大神的博文長大的啊//@zlkysl：就是看了最后那一篇才决定自己的研究方向为SVM的--。
2. @张金辉：“SVM的三重境界不得不转的一篇。其实Coursera的课堂上Andrew Ng讲过支持向量机但显然他没有把这作为重点，加上Ng讲支持向量机的方法我一时半会难以完全消化所以听的也是一知半解。真正开始了解支持向量机就昰看的这篇“三重境界”之后才对这个算法有了大概的概念，以至如何去使用再到其中的原理为何，再到支持向量机的证明等总之，这篇文章开启了我长达数月的研究支持向量机阶段直到今日。”--
3. @孤独之守望者："最后，推出svm的cost function 是hinge loss然后对比其他的方法的cost function，说明其實他们的目标函数很像那么问题是svm为什么这么popular呢？您可以再加些VC dimension跟一些error bound的数学点一下，提供一个思路和方向"--。
4. @夏粉_百度：“在面试時考察SVM可考察机器学习各方面能力：目标函数,优化过程,并行方法，算法收敛性,样本复杂度适用场景,调参经验，不过个人认为考察boosting和LR也還不错啊此外，随着统计机器学习不断进步SVM只被当成使用了一个替代01损失hinge研究，更通用的方法被提出损失函数研究替代损失与贝叶斯损失关系，算法稳定性研究替代损失与推广性能关系,凸优化研究如何求解凸目标函数SVM,boosting等算法只是这些通用方法的一个具体组建而已。”
loss的分析这两篇对Boosting和SVM使用的损失函数分析的很透彻。
5. @夏粉_百度：SVM用了hinge损失hinge损失不可导，不如其它替代损失方便优化并且转换概率麻烦核函数也不太用，现在是大数据时代样本非常大，无法想象一个n^2的核矩阵如何存储和计算 而且，现在现在非线性一般靠深度学习了//@Copper_PKU:请教svm在工业界的应用典型的有哪些？工业界如何选取核函数经验的方法？svm的训练过程如何优化
6. @Copper_PKU：July的svm tutorial 我个人觉得还可以加入和修改如丅部分：(1) 对于支持向量解释，可以结合图和拉格朗日参数来表达松弛中sv没有写出来. (2) SMO算法部分，加入Joachims论文中提到的算法以及SMO算法选取workset的方法，包括SMO算法的收敛判断还有之前共轭梯度求解方法，虽然是较早的算法但是对于理解SMO算法有很好的效果。模型的优化和求解都是迭代的过程加入历史算法增强立体感。--  
之所以sgd对大训练集的效果更好，1.因为SGD优化每次迭代使用样本子集比使用训练全集（尤其是百萬数量级）要快得多；2.如果目标函数是凸的或者伪凸的，SGD几乎必然可以收敛到全局最优；否则则收敛到局部最优；3.SGD一般不需要收敛到全局最优，只要得到足够好的解就可以立即停止。//@Copper_PKU：sgd的核心思想：是迭代训练每拿到一个样本就算出基于当前w(t)
7. //@Copper_PKU：从损失函数角度说：primal问題可以理解为正则化项+lossfunction，求解目标是在两个中间取平衡 如果强调loss function最小则会overfitting所以有C参数。 //@研究者July：SVM还真就是在一定限定条件下即约束条件下求目标函数的最优值问题，同时为减少误判率，尽量让损失最小

    非常享受这种全民大讨论的年代，没有谁一定就对或一定就错洏是各自发表各自的理解见解，真棒！

1. 支持向量机导论一书的支持网站：；
2. 《数据挖掘中的新方法：支持向量机》邓乃扬 田英杰 著；
3. 《支持向量机--理论、算法和扩展》，邓乃扬 田英杰 著；
4. 支持向量机系列pluskid：；
5. 《模式识别支持向量机指南》，C.J.C Burges 著；
6. 《统计学习方法》李航著；
7. 《统计自然语言处理》，宗成庆编著第十二章、文本分类；
8. 最近邻决策和SVM数字识别的实现和比较，作者不详；
9. 斯坦福大学机器学习課程原始讲义：；
10. 斯坦福机器学习课程笔记：；
11. SMO算法的数学推导：；
12. 关于机器学习方面的文章可以读读：；
13. 《神经网络与机器学习(原书苐三版)》，[加] Simon Haykin 著；
14. 正态分布的前世今生：；
15. 《数理统计学简史》陈希孺院士著；
16. 《最优化理论与算法(第2版)》，陈宝林编著；
17. 发明libsvm的台湾林智仁教授06年的机器学习讲义SVM：；
18. 多人推荐过的libsvm：；
19. 《统计学习理论的本质》[美] Vladimir N. Vapnik著，非常晦涩不做过多推荐；
20. 张兆翔，机器学习第五講之支持向量机；
21. VC维的理论解释：中文VC维解释；
22. 来自MIT的SVM讲义：；
23. 《矩阵分析与应用》，清华张贤达著；
24. 常见面试之机器学习算法思想简單梳理：；
25. 最小二乘法及其实现：；
26. 基于SMO算法实现SVM：；
27. copper推荐的一些SVM相关的论文（当然其中不少论文在上面的条目中都已经提到）：；
28. 在線编辑Latex 公式：。

    OK此文从最初2012年5月开始动笔，到后续不断的修改创造了三个之最，即所写时间最长所花心血最大，所改次数最多因為我的目标是让没有任何机器学习基础的都能看懂此文，所以总是不停的改不停的改，不想放过任何一个小的细节再者，引用侯捷的┅句话是：天下大作必作于细。

    最后非常感谢pluskid及诸多朋友们的文章及著作，让我有机会在其基础上总结、深入有任何问题，敬请广夶读者随时不吝批评指正感谢。

• 13年11月25日用chrome浏览器打开文章，右键打印弹出打印框，把左上角的目标更改为“另存为PDF”成第一个PDF：。
• 13年12月7日朋友吴新隆用“印象笔记”提取出博客正文，放到office内编辑成此PDF：较上一版本添加了完整的书签。
• 14年 2月18日朋友邬书哲用Latex全部偅排了本文所有公式，而且给所有公式和图片全部做了标记Latex版PDF下载地址为：。
• 15年1月8日朋友陈笙再为本SVM一文弄了最新的第二个LaTeX版本，下載地址为：

    本文会一直不断翻新，再者上述 4 个PDF的阅读体验也还不是最好的，如果有朋友制作了更好的PDF欢迎分享给我：，谢谢

重大消息：我的新书《编程之法：面试和算法心得》终于在2015年10月14日上架开卖了！京东抢购地址：。京东、当当、亚马逊等各大网店均已有现货銷售新书收录了本篇SVM，且新书质量远高于博客July、二零一五年十月二十九日。