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歌词提示:基督徒你是否曾想你是否曾想主的心实在是忧伤,见教会如此的荒凉蒙恩者都为钱忙。。。

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你是否曾经为了写出某个椭圆的方程而抓耳挠腮是否常常想,为什么长轴短轴那么麻烦为什么椭圆的方程不能像圆的方程那样简洁明了? 一.平面斜角坐标系的定义 ??????我們知道在同一平面内有公共原点的两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系。(如右下图) x y o 当上述两数轴正方向之间的夹角θ不为π/2时两條数轴所构成的系统又是什么呢? ? 当θ为0或π时,两数轴共线,这对平面上的点的研究意义不大,这里不加以讨论。 ? 当θ∈(0π)且θ≠π/2时,两数轴的相对位置又可分为两种情况即θ∈(0,π/2)以及θ∈(π/2π)两种情况。 ?????参考平面直角坐标系的名称,?我们可将上述两種系统分别称为平面锐角坐标系(如图1.1)及平面钝角坐标系(如图1.2)统称平面斜角坐标系。 图1.1 平面锐角坐标系 图1.2 平面钝角坐标系 x y o θ x y o θ 基于以上描述并参照平面直角坐标系的定义,我们可以给出平面斜角坐标系一个明确的定义即: ? 为了方便研究,将θ称为坐标角,两数轴分别称为x轴y轴,一个平面斜角坐标系所在平面称为坐标平面 两条有公共原点的,正方向夹角为θ的数轴共同构成 了平面斜角坐标系其中θ∈(0,π)且θ≠π/2 1.平面斜角坐标系内点的坐标 ??我们知道,在建立了平面直角坐标系后对于坐标平面内的任意一点,都有唯一确定的有序实数对(xy)(又称坐标)与之对应。反过来任意一个确定的有序实数对(x,y)在确定的坐标平面内都只有一个点与之对应。点与其直角坐標是怎样确定的呢? 过平面内一点A,分别作y轴、x轴的平行线 , 分别与x轴、y轴的交点在两轴对应位置为a、b。称a、b分别是A在该平面斜角坐标系的X軸坐标、Y轴坐标有序数对(a,b)称为点A在该平面斜角坐标系的坐标点A与其坐标是一一对应关系。(如图) x y o A b a (a,b) 参照“点在平面直角坐标系的坐標”的定义我们可以这样确定一个点在平面斜角坐标系的坐标: 过平面内一点A,分别作Y轴、X轴的平行线 , , 分别与X轴、Y轴的交点在两轴对應位置为a、b称a、b分别是A在该平面斜角坐标系的X轴坐标、Y轴坐标。有序数对(ab)称为点A在该平面斜角坐标系的坐标。点A与其坐标是一一对应關系(如图) x y o θ A b a (a,b) 我们也可以从向量的角度来理解上述定义。 如图2.3a 与 b 分别是平面斜角坐标系中X轴、Y轴上的单位向量,方向分别与X轴、Y轴囸方向相同A为该坐标系内一点。向量 可以表达成分别与a 、 b共线的两个向量 的和即 又 ∵ 与 , 与 共线 ∴  即 根据平面向量的基本性质 唯一确定,即A与有序实数对( )是一一对应的关系而我们也可以得知,有序实数对( )与上一方法得出的坐标 (ab)是一样的。 x y o θ A(a,b) 在已知平媔斜角坐标系中X’OY’所在的平面内根据需要建立一个适当的平面直角坐标系XOY (应注意,两坐标系有公共原点O)。其中∠XOX’ =α,∠YOY’=β,∠X’OY’=θ。若A点在平面斜角坐标系X’OY’的坐标为(ab),则在新建的平面直角坐标系XOY 中坐标为 x y o X’ Y’ θ A b a (a,b) 用向量来解释就容易理解了: 将 分别按X轴、Y軸进行正交分解,则 ∴ 点A坐标为 又∵ ∴ 点A在坐标系XOY中坐标为 x y o X’ Y’ θ A b a (ab) 特别地 当x轴与x′轴重合时,有 =0 此时A(a,b)坐标为 当y轴与y′轴重合时有 此时A(a,b)坐标为 不过,为了在如下图的情况下仍有α+β+θ=(π/2) 我们可以做这样的规定: Y轴顺时针旋转角度β得到Y’轴故当Y’轴是由Y轴顺时針旋转一定角度得来时,β值为负。 同理X轴逆时针旋转角度α得到X’轴,故当X’轴是由X轴顺时针旋转一定角度得来时α值为负。 x y o X’ Y’ θ 同时,为了方便我们理解以及便于计算,可做出如下规定: ① │α│<π │β│<π ② Y轴与X轴转过的角不应有重叠, 即不应出现下图嘚那种情况 x y o y’ x’ θ 三、平面直角坐标系与平面斜角坐标系的区别与联系 上述关于平面斜角坐标系的结论,都是由已知的平面直角坐标系的結论通过类比推理得到的,

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