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《方程的根和函数的零点》教学设计说明
[来源：未知]　[作者：赵燕]
[日期： 10:35]
《方程的根和函数的零点》教学设计说明
设计者：赵燕 衡水市第十四中学
一、教材分析
1、& 背景概况
方程的求解在数学史上经历了很长时间，约公元50-100年编成的《九章算术》给出了一次方程和二次方程和正系数三次方程的求根方法；11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；13世纪，南宋数学家秦九绍给出了求任意次代数方程的正根的解法，国外数学家对方程的求解也有很多研究，数学史上，人们曾经希望得到五次以上代数方程的公式解，但最后被十九世纪挪威的数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的一般方程没有公式解。
本节课实际上是《数学分析》中的介值定理下放到了中学课程。如何把理论性很强的内容深入浅出的让学生理解接受是这节课的着力点，因此设计要符合学生的认知规律，从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和感兴趣的问题开始，通过设疑迁疑让学生逐步理解本课程及一些高等书思想方法，对学生今后学习和分析数学问题会很有帮助。
&2、学情分析
本节对&方程的根与函数零点&的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究,其学习平台是学生已经掌握了函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识.对本节课的研究，不仅为&用二分法求方程的近似解& 这一&函数的应用&做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要的思想方法之一&&&函数与方程思想&的理论基础，起到了承前起后的作用。
&3、本课定位及重点难点分析
本课时为人教A版必修一第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时。在本课时中，我将重点着手于以下几部分内容：零点的概念；方程的根与函数的零点之间的关系；函数零点的存在性定理；零点问题的多方拓展应用。可以说本科时是一节概念课。
函数零点的概念，函数零点与方程的根之间的关系及初步形成用函数观点处理问题的意识是本课时研究重点，其中，零点定义及零点与个部分之间的联系更是重点中的难点，方程的根与函数零点的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法，这就是加强数形结合，由具体到抽象，由特殊到一般。首先在初中一元二次方程与一元二次函数学习的基础上，通过一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的观察，分析，归纳，发现方程的根与函数零点的关系，推广到一般情形，进一步用数学语言刻画函数零点的概念并应用，从而掌握求函数零点的方法。
4、教学方法分析
本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。为此，我准备从以下几个方面突破这些内容：
（1）以旧带新。所谓温故而知新，在高一学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都不很全面的基础上，本节课的学习会遇到较多的困难，所以在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，尽可能提供学生动手实践的机会,让学生从亲身体验中掌握知识与方法；环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位，必要时教师适当的引导和帮助。
（2）横向对比，纵向深入，建立联系，加深理解。让学生去体会，去感悟知识之间的联系和区别，用联系的观点看问题，让他们自己发现其中的规律，这对学生而言是一件乐事，毕竟老师是一个引导者，学生才是修行人。
（3）联系生活，情景诱导。把难以接受的理论以形象化的方式表达出来，不但理解上容易，而且记忆起来也较深刻。
（4）实地演练，巩固所得。&纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。&想与做从来都不是一回事，知易行难，数学要做出来才是真正的领悟。
二、教材目标分析
1．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系.从中体会由特殊到一般、由局部到整体的认知规律，提升学生的抽象和概括能力。
2．能利用函数图象判断某些函数的零点个数，能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题。从中领会数形结合、化归等数学思想.
三、教学过程设计
学生活动及预备方案
问题一、方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？
要解决这个问题，我们需要学习《方程的根和函数的零点》。（板书课题）
学生独立思考，因是他们还没学过的内容，所以会满脑问号：这个问题从哪里入手思考？
抛砖引玉，将学生置于困境，令其对上述问题一筹莫展，从而激活学生的思维．进而引导学生将复杂的问题简单化，从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移，并培养其从不同角度思考问题的习惯．
一、温故知新，创设情境
从初中开始，我们就学习了二次方程的解法，那么我们先来复习一下这几个方程，求出方程的根。
（1）x2－2x－3=0
（2）x2－2x+1=0
（3）x2－2x+3=0
学生动手，教师提问。
可能遇到问题：计算错误，分解因式错误，老师一一纠正。
由学生已掌握的知识入手，创设熟悉环境，引导进入本课状态。
再来看这几个函数：做出他们的图像并说出函数与x轴的交点坐标及个数。
（1）&&&&&& y= x2－2x－3
（2）&&&&&& y= x2－2x+1
（3）&&&&&& y= x2－2x+3
指导学生回忆二次函数图像的画法：开口方向，定点，对称轴
引导学生从熟悉的，具体的二次函数入手，对函数图像与方程的根的关系有初步的认识，从简单入手顺应学生的认知结构,调动学生的知识储备，为理解函数零点，了解函数零点与方程根的联系作准备。
教师总结：
y=x2－2x+1
y=x2－2x+3
方程的实数根
x1=－1,x2=3
图像与x轴交点
(－1,0)、(3,0)
由学生填表，板演
问题二、方程的根和函数与x轴的交点之间有何联系与区别？
教师需说明：
（1）&&&&&& 教师对学生的各种回答给予鼓励。回答正确的给予表扬，回答错误的也要表扬，鼓励他想的更加深入。
（2）&&&&&& 方程的根的个数和函数与x轴交点个数相同
（3）&&&& 方程的根是一个数值，而交点是一个坐标。
学生可能回答：
（1）方程的根就是函数与x轴的交点。（错）
（2）方程的根的个数和函数与x轴交点个数相同。（对）
由具体的一元二次方程和二次函数到一般的一元二次方程和二次函数，设置学生最近的思维发展区，利于学生由具体到抽象的转化。（3）的强调为后面的易错点做准备。
二、交流互动，探讨新知
引出概念：
函数的零点：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
追问：（1）零点时一个点吗？不是
&&&& （2）函数的零点是对应方程的根吗？不是
&&&& （3）函数的零点在函数的图像中如何体现的？零点是图像与x轴的交点
教师给予正确解答。并给出下列表格。
板书定义，突出重点。理解零点概念，领会其实质，培养学生的观察和归纳能力，并体现等价转换思想。
一元二次方程
函数的零点
两个不等实根x1 ，x2
两个相等实根x1
由学生填上表
根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像和性质，独立完成对二次函数零点情况的分析，并进行交流，总结概括形成结论。
横向对比，突出区别，加强比较，建立联系
与上一个表格对比，多了零点的比较，让学生对二次函数零点概念产生直观，完整的认识，深化零点概念，进而了解求方程的根就是确定函数零点这一本质。
三、应用概念，小试牛刀
例1、&&&&&& 求下列函数的零点。
（1）f(x)=lnx-1&&&&&
（2）f(x)=2x-1
教师给出图像，并总结求函数零点的方法（一）：
（1）求对应方程的根
（2）画出图像，找函数图象与x轴的交点，即为函数零点。
学生可能会出的情况：
（1）将零点写成点
（2）指数函数和对数函数的运用不熟练。
针对学生易&将零点写成点&的情况，专门设计，并将求函数的零点拓展到二次函数以外的其他基本函数中去不仅巩固函数
零点的定义，而且可以使学生从错误中加深对零点定义的理解。同时，总结求零点的方法，形成系统。
四、辨析讨论，深化概念
例2、&&&&&& 求下列函数的零点
（1）f（x）=2x+x
（2）f（x）=lnx＋2x－6
呼应开头问题一，做出解答。总结求函数零点的方法（二）：
（3）转化为两个函数的交点
将一个函数的零点与两个函数图像的交点巧妙联系，解决问题。
零点=交点横坐标
教师小结求零点的方法:
（1）求对应方程的根
（2）画出图像，找函数图象与x轴的交点，即为函数零点。
（3）转化为两个函数的交点
注意零点概念,突出数形结合的数学思想。
五、再设情境，引入定理
很多人喜欢看电影，如果把函数的图象比作一部电影的话，函数的零点就是电影里的一个镜头，如果漏看了某些镜头，我们可以根据前后情节推测出漏掉的内容。
放出图片，提出问题：
1、下列两组图片中，哪一组能说明他的行程一定渡过了河？
2、将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。
请问当A、B与 x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与 轴一定会有交点？
3、A、B与 x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？
4、A、B两点在x轴的两侧，那么它们对应的函数值符号怎样？
1、学生观察图片后会回答：
I组能说明他的行程中一定曾渡过河，而II组就不一定。
2、学生会说：A、B在x轴两侧时，
AB间的一段连续不断的函数图象与 轴一定会有交点。
3、学生思考
4、学生就能恍然大悟般的说出：
f（a）&f（b）&0&&&&&
从学生感兴趣的实际生活说起，将理论形象化。让教学的素材在学生的实践中生成，让学生拥有充分的情感体验，通过体验形成经验。
例3、观察下列图形，确定零点所在区间
问题1：此图象是否能表示函数？能。
问题2：你能从中分析函数有几个零点吗？4个。
问题3：你能说出你的根据吗？下面要说的定理。
教师点评：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
生：此图为函数的图象，有3个（4个？）零点，此处可让学生辩论，说明理由，各舒己见，教师总结。
设计意图：
趁热打铁，进一步深化函数的概念，完善对零点的全面理解，为下一步引出零点的存在性定理做铺垫。
引出定理：
零点存在性定理：
&&&&& 如果函数y ＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点。即存在c &(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。
六、深度释疑，拓展思维
例4、判断下列说法正误
（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)&0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．（错）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，若[a，b]有一个零点，则f（a）&f（b）&0。（错）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)&0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点& （错）
（4）有位同学画了一个图,认为定理不一定成立,你的看法呢?
教师点评：定理不能确零点的个数；定理中的&连续不断&是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点。
采用提问形式，让学生回答，一人回答，一人补充，开拓思路，集思广益，可能答案会有错误，但是却有助于学生独立思考问题，对于学生的每个答案都要有合理的补充，反问，及肯定的态度。
在此环节我增加了4个有关于存在性定理的追问，作为例题，层层递进，抽丝剥茧，帮助学生更精确，更全面的从多角度理解函数零点的存在性定理。同时，通过对定理中条件的改变，将
几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解。
七、课堂演练，思悟升华
使学生对所学的知识有个比较全面的认识，有利于学生知识网络的构建，在培养概括能力的同时，也能对课堂的教学效果进行反馈．
1、函数f(x)=x(x2-16)的零点为(& )
Ａ. (0,0),(4,0)&& &&& Ｂ.0,4&&&& Ｃ. (&4,0),(0,0),(4,0)&&&& Ｄ.&4,0,4
2、求函数的零点个数，
并指出其零点所在的大致区间．
请学生归纳概括本节课在知识、能力、数学的思想、方法以及情感感受方面的收获，教师适当点评或补充．
本课内容分为两大部分：函数零点的概念；函数零点的存在性定理
本课数学方法：求函数零点的方法（1）求对应方程的根（2）画出图像，找函数图象与x轴的交点，即为函数零点。（3）转化为两个函数的交点。
九、布置作业，举一反三
课本88页练习1、2&& 《绿色通道》3.1
以上是我对《方程的根和函数的零点》这节教材的认识和对教学过程的设计。在整个课堂中，我采用&情景&&诱导&&猜想&&探索&&总结&的教学过程模式，以学生发展为本，让学生站到第一线来，打破传统观念。所以上课时我主要采用了&引导探究式教学法&，&引导探究式教学法&主要以问题为中心，通过不断提出问题、探索问题、分析问题、解决问题，使学生掌握新知识，并形成一定的探究和创新等能力。对课堂的设计，我始终在努力贯彻以教师为主导，以学生为主体，以问题为基础，以能力、方法为主线，有计划培养学生的自学能力、观察和实践能力、思维能力、应用知识解决实际问题的能力和创造能力为指导思想。并且能从各种实际出发，充分利用各种教学手段来激发学生的学习兴趣，体现了对学生创新意识的培养。
从教十年，水平极其有限，仅凭个人理解，对教材编写深邃思想和丰富内涵的体会恐难达到编者意图的十之一二。新课改的课堂需要刻画出数学本质，本堂课中把数学知识和数形结合的思想有机的结合起来，每个环节都充分体现数域形的关系，但我真是心有余而力不足。肖川博士在其《教育的理念与信仰中》指出：个人的成长经常表现为内心的敞亮，表现为茅塞顿开，豁然开朗，悠然心会。看来，我差的还太遥远。
总而言之，一堂高效的课不仅需要教者有扎实的教学基本功、丰厚的知识底蕴、独特的人格魅力、灵动的教育智慧，更需要有以人为本、育人至上、关注生命情感的先进的教育教学理念。俗语有云：活到老学到老，高效课堂是我不懈的追求！ 上传我的文档
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方程的根与函数的零点 【教材】
普通高中课程标准实验教科书（A版）必修1 【授课教师】 乌鲁木齐市第七十中学―杜伟 一、教材分析 1．教学内容 《方程的根与函数的零点》是普通高中课程标准实验教科书（A版）必修1第三章《函数的应用》的第一节“3.1.1 方程的根与函数的零点”，本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理及应用． 2．地位与作用 本节安排在《集合与函数》以及《基本初等函数(?) 》之后,位于《函数的应用》的第一节,就是要教会学生怎样用函数的思想来解决相关问题,所以这节内容在这里起到了承上启下的作用. ３．教学重点、难点 【重点】函数零点的概念，函数零点的存在性定理的推断和运用。 【难点】函数零点的存在性定理的推断和运用。 二、学情分析 学生已掌握了《集合与函数概念》、《基本初等函数（I）》的相关知识，并对函数及其图象已具备了初步认识，但是对于“函数与方程的思想”、“数形结合思想”以及对抽象问题等价转化的思维能力还有待提高。 三、教学目标 根据新课程标准的理念以及前面对教材、学情的分析，我制定了如下教学目标． 【知识目标】1、理解函数零点的概念;
2、理解方程的根与函数的零点之间的关系;
3、掌握函数零点的存在性定理的推断及应用. 【能力目标】1、抽象思维能力、观察能力、作图能力;
2、函数与方程的思想、数形结合的思想；
3、提高学生解决问题的能力。 【情感目标】激发学生学习数学的兴趣，让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦．同时融入集体荣誉感教育。 四、教学方法 根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模式，诱导启发、自主探究的互动式教学方法。 在教学过程中，教师适当的设置疑问，学生通过自己的努力解决问题，同时教学过程中，应着重学生的动手训练． 五、课件设计思想 本节课内容含量较大，设计了不少的探究性问题，所涉及的函数图象又比较复杂，所以采用多媒体辅助教学，利用几何画板画函数图象。既增加课堂容量，提高课堂效率，又直观、准确地展示出函数的图象，让学生轻松观察出结果． 六、教学过程设计 教学环节及时间
（4′） 求下列方程的根． （1）2x?1?0 （2）x2?2x?3?0 5（3）x?2x?3?0 教师活动 学生活动 对学生学习过程的观察和考查，以及及设计意图
学生回答。
激发学生的好奇心和求知欲。 讲解方程的历史 让学生感受到数学文化方面的熏陶。 （4）lnx?2x?6?0 过渡
我们可以从函数的角度来研究方程的根。
问：函数的图像与对应方程的根之间存在什么样的关系？ 用几何画板作出函数图像。教师巡视指导。
引出课题。（板书）
学生作图，分组探讨交流。请每组的学生代表回答。 引出零点的定义。（板书） 得出结论1：方程的根、函数的零点与函数的图像三者之间的关系。（板书） 练习1
（4′） 求函数的零点 选择题 学生回答。 加强函数零点的概念
强调求零点可以通过求方程的根得到， 零点不是点 进一步巩固三个关系。 小结找零点的两种方法：解方程和图像法。（板书） 练习2
（4′） 用几何画板作出三个函数的图像。 问：有几种方法可以找函数观察图像，进一步体会函数的零点与函数的图像之间的关系。 的零点？ 合作探究2 教师出示灯片，展示学生的（8′） 多种画法。 问：怎样判断函数在区间[a,b]上有零点？ 合作探究3 教师巡视指导。 （5′） 问：由此你可得到什么样的结论？ 学生回答。 学生分组探讨交流。教师巡视指导。请每组的学生代表发言。 激发学生的想象力与交流合作的能力。引出函数的零点存在性定理，并归纳。（板书） 学生自主探究，再合作交流。 请每组的学生代表发言。 得出结论2 ：（1）图像要连续不断；（2）存在不一定唯一；（3）有零点，不一定有f(a)?f(b)< 0。（板书） 练习3
（3′） 教师引导。 问：怎样在定义域内找出函数的零点？ 学生自主探究，回答。 小结用定理找零点的步骤。小结找零点的三种方法：解方程、图像法和零点存在性定理。（板书） 回答了引入中提出的问题。 例1 （7′） 教师引导：可用图像法和定学生学生自主探究，再进一步巩固定理。 得出结论3
确定函数在某个区间内有唯一零点的方法和步骤：（1）用定理判断存在性；（2）用单调性说明唯一性。 理解题。展示学生的解答。 合作交流。 问1：本题分几步解决？ 问2：如何确定函数在某个区间内有唯一零点？
（5′） 课堂小结 （4′） 作业
教师巡视。 学生自主探究。 巩固结论3。 教师最后归纳。 学生自主归纳，回答，教师最后归纳。 培养学生的自主性，加强对本节知识的归纳和梳理。 巩固本节知识。 承前启后 课后完成。 七、教学反思 根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下反思： 从数学思想上看，本节课采取“从具体到抽象”的思维方式，有助于学生抽象思维能力的形成，本节中方程的实数根与函数零点的关系，使学生树立了“函数与方程思想”和“数形结合思想”。 包含总结汇报、资格考试、IT计算机、专业文献、人文社科、党团工作、考试资料、文档下载以及方程的根与函数的零点教学设计等内容。
相关内容搜索方程的根与函数的零点教案_中华文本库
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1 3.1.1方程的根与函数的零点
一、教学内容解析
本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。
函数f(x)的零点, 是中学数学的一个重要概念, 从函数值与自变量对应的角度看, 就是使函数值为0的实数x; 从方程的角度看, 即为相应方程f （x ）=0的实数根，从函数的图形表示看, 函数的零点就是函数f(x)与x 轴交点的横坐标. 函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点, 它从不同的角度, 将数与形, 函数与方程有机的联系在一起。
函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如
对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。
函数与方程相比较, 一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”。用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。
本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。
二、教学目标解析
1．结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，从而了解函数的零点与方程根的联系。
2．在学习过程中，体验函数与方程思想及数形结合思想。
三、教学问题诊断分析
1．通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力, 这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。由此作为函数应用的第一课时，有必要点明函数的核心地位，即说明函数与其他知识的联系及其在生活中的应用，初步树立起函数应用
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