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【广东省学年高一寒假作业数学(七) Word版解析]
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学年上学期高一数学期末模拟试卷（江苏版）03
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学年山东省淄博市张店六中高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（ ） A．B．C．D． 2．若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a1+a3+a5=（ ） A．122B．123C．243D．244 3．下列说法不正确的是（ ） A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题 B．命题“?x∈R，x2x1＜0”的否定是““?x∈R，x2x1≥0” C．当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减 D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件 4．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：偏爱蔬菜偏爱肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（ ）附：参考公式和临界值表：Χ2=K2，.7063，.8416，.63610，.828P（Χ2≥k）0，.100，.050，.0100，.001 A．90%B．95%C．99%D．99.9% 5．dx=（ ） A．2πB．πC．D． 6．老张身高176cm，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，用回归分析的方法得到的回归方程为=x+，则预计老张的孙子的身高为（ ）cm． A．182B．183C．184D．185 7．函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（ ） A．B．C．D． 8．1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有（ ） A．450B．460C．480D．500 9．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ） A．B．+C．D． 10．在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1（x3）2．若f（x）图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=（ ） A．1或B．C．1或3D．1或2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩XN（100，a2）（a＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有 人． 12．曲线y=ln（2x1）上的点到直线2xy+3=0的最短距离是 ． 13．若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是 ． 14．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为 ． 15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设f（x）=2（cosCsinxcosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间． 17．直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由． 18．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率． 19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn． 20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，椭圆C与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x2+y2=相切于点W（O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程并证明：OE⊥OF；（Ⅱ）设λ=，求实数λ的取值范围． 21．已知函数f（x）=xalnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=，在（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．
学年山东省淄博市张店六中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（ ） A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：由z（1+3i）=i，得，∴z的虚部为．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a1+a3+a5=（ ） A．122B．123C．243D．244考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在所给的等式中，分别令x=1和x=1，相减可得a1+a3+a5的值．再求出常数项a0的值，即可得到a0+a1+a3+a5的值．解答：解：令x=1可得，a0+a1+a2+a3+a4+a5=243①，再令x=1可得a0a1+a2a3+a4a5=1②，用①减去②可得2（a1+a3+a5）=244，故有a1+a3+a5=122．再由题意可得a0==1，可得a0+a1+a3+a5=123，故选：B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题． 3．下列说法不正确的是（ ） A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题 B．命题“?x∈R，x2x1＜0”的否定是““?x∈R，x2x1≥0” C．当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减 D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件考点：特称命题．专题：综合题；简易逻辑．分析：A根据复合命题的真假性，即可判断命题是否正确；B根据特称命题的否定是全称命，写出它的全称命题即可；C根据幂函数的图象与性质即可得出正确的结论；D说明充分性与必要性是否成立即可．解答：解：对于A，当“p且q”为假时，p、q至少有一个是假命题，是正确的；对于B，命题“?x∈R，x2x1＜0”的否定是““?x∈R，x2x1≥0”，是正确的；对于C，a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上是减函数，命题正确；对于D，φ=时，y=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，充分性成立，y=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+，k∈Z，必要性不成立；∴是充分不必要条件，命题错误．故选：D．点评：本题考查了复合命题的真假性问题，也考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，考查了充分必要条件以及幂函数的应用问题，是基础题目． 4．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：偏爱蔬菜偏爱肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（ ）附：参考公式和临界值表：Χ2=K2，.7063，.8416，.63610，.828P（Χ2≥k）0，.100，.050，.0100，.001 A．90%B．95%C．99%D．99.9%考点：独立性检验．专题：应用题；概率与统计．分析：计算观测值，与临界值比较，即可得出结论．解答：解：设H0：饮食习惯与年龄无关．因为Χ2==10＞6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．故选：C．点评：本题考查独立性检验，考查学生利用数学知识解决实际问题，利用公式计算观测值是关键． 5．dx=（ ） A．2πB．πC．D．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用其几何意义求定积分值．解答：解：dx=表示以原点为圆心，为半径的圆的面积，故dx=；故选C．点评：本题考查了定积分的几何意义；求定积分有时候要求出被积函数的原函数再计算，而本题是利用其本身的几何意义求值． 6．老张身高176cm，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，用回归分析的方法得到的回归方程为=x+，则预计老张的孙子的身高为（ ）cm． A．182B．183C．184D．185考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：设出解释变量和预报变量；代入线性回归方程公式，求出线性回归方程，将方程中的X用182代替，求出他孙子的身高．解答：解：设X表示父亲的身高，Y表示儿子的身高则Y随X的变化情况如下；建立这种线性模型：XY？用线性回归公式，==173，==176，代入回归方程：=x+，可得=3，解得线性回归方程y=x+3当x=182时，y=185故选：D．点评：本题考查由样本数据，利用线性回归直线的公式，求回归直线方程． 7．函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（ ） A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断．解答：解：∵f（x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，排除A，B，∵＞0，故排除D，故选：C．点评：本题考查了图象的识别，根据函数的奇偶性和函数的值域，是常用的方法，属于基础题． 8．1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有（ ） A．450B．460C．480D．500考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，先分析老师的站法，再由组合数公式计算5名学生，站剩余5个位置的排法数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，1名老师和5位同学站成一排照相，共6个位置，要求老师不站在两端，则老师有4个位置可选，即老师的站法有4种情况，对于5名学生，站5个位置，有A55=120种情况，则不同的排法有4×120=480种，故选C．点评：本题考查排列、组合的应用，是排队问题，对于收到限制的元素，一般要优先分析，优先满足． 9．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ） A．B．+C．D．考点：定积分在求面积中的应用；二项式系数的性质．专题：计算题；导数的综合应用；二项式定理．分析：用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．解答：解：因为（x2+）6展开式的常数项是15，所以=15，解得a=2，所以曲线y=x2和圆x2+y2=2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为==．故选：A．点评：本题考查了二项式定理以及定积分求阴影部分的面积，属于常规题． 10．在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1（x3）2．若f（x）图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=（ ） A．1或B．C．1或3D．1或2考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中定义在，此时当x=时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f（x）=1（x3）2．此时当x=3时，函数取极大值1；当4＜x≤8时，2＜≤4，则f（x）=cf（）=c，此时当x=6时，函数取极大值c．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴=，解得c=1或2．故选：D．点评：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩XN（100，a2）（a＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有 120 人．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：先根据正态分布曲线的图象特征，关注其对称性画出函数的图象，观察图象在80分到120分之间的人数概率，即可得成绩不低于120分的学生人数概率，最后即可求得成绩不低于120分的学生数．解答：解：∵成绩ξ～N（100，a2），∴其正态曲线关于直线x=100对称，又∵成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在120分以上的人数约为总人数的（1）=，∴此次数学考试成绩不低于120分的学生约有：=120．故答案为：120．点评：本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 12．曲线y=ln（2x1）上的点到直线2xy+3=0的最短距离是 ．考点：导数的运算；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：直线y=2x+3在曲线y=ln（2x+1）上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2xy+3=0的距离即为所求的最短距离．由直线2xy+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．解答：解：因为直线2xy+3=0的斜率为2，所以令y′==2，解得：x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，则（1，0）到直线2xy+3=0的距离d==，即曲线y=ln（2x1）上的点到直线2xy+3=0的最短距离是．故答案为：点评：在曲线上找出斜率和已知直线斜率相等的点的坐标是解本题的关键．同时要求学生掌握求导法则及点到直线的距离公式的运用． 13．若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是 1＜m≤0 ．考点：函数单调性的性质．分析：若函数变形为，只要考查函数就行了．解答：解：∵函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可．画出g（x）的图象：∵解得1＜m≤0故填1＜m≤0．点评：研究函数的性质是解决问题的关键，此函数的性质为解决许多问题提供了帮助． 14．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为 9 ．考点：等差数列的通项公式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3a2=73=4=2×2，a4a3=137=6=2×3，…amam1=2（m1），累加由等差数列的求和公式可得am，验证可得．解答：解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为am，则由题意可得a3a2=73=4=2×2，a4a3=137=6=2×3，…amam1=2（m1），以上m2个式子相加可得ama2==（m+1）（m2），∴am=a2+（m+1）（m2）=m2m+1，∴当m=9时，am=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及累加法求数列的通项公式，属中档题． 15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 ②④ （写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．考点：互斥事件的概率加法公式．专题：压轴题．分析：本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键．本题在A1，A2，A3是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化P（B）=P（B|A1）+P（BA2）+P（BA3），可知事件B的概率是确定的．解答：解：易见A1，A2，A3是两两互斥的事件，．故答案为：②④点评：概率的综合问题，需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握． 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设f（x）=2（cosCsinxcosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）首先利用三角形的面积公式求出c边的长，进一步利用余弦定理求出a的长．（Ⅱ）利用上步的结论，进一步求出B的大小和C的大小，进一步把函数关系式变性成正弦型函数，再利用函数图象的变换求出g（x）=2sin（2x），最后利用整体思想求出函数的单调区间．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．则：S=．解得：c=2．a2=b2+c22bccosA则：a=．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，，所以：，解得：sinB=1，由于0＜B＜π则：，C=．f（x）=2（cosCsinxcosAcosx）=2sin（x），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）=2sin（2x），令：（k∈Z）解得：则函数g（x）的单调递增区间为：（k∈Z）点评：本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数图象的伸缩变换，正弦型函数的单调区间的确定． 17．直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D（λ，0，1），所以=0，即DF⊥AE；（2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2λ，2（1λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．解答：（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC?面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈，即（x，y，z1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），所以=（，，1），∵=（0，1，），∴==0，所以DF⊥AE；（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，∵=（，，），=（，1），∴，即，令z=2（1λ），则=（3，1+2λ，2（1λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．点评：本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题． 18．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．解答：解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，由于乙队中3人答对的概率分别为，，，P（ξ=0）=（1）×（1）×（1）=，P（ξ=10）=×（1）×（1）+（1）××（1）+（1）×（1）×==，P（ξ=20）=××（1）+（1）××+×（1）×==，P（ξ=30）=××=，∴ξ的分布列为：ξ0102030P∴Eξ=0×+10×+20×+30×=．（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．又P（A）==，P（B）=××=，则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率． 19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．考点：数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．专题：综合题．分析：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=SnSn1=n（n+1）（n1）n=2n，由此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出bn．（Ⅲ）=n（3n+1）=n3n+n，所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{cn}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=SnSn1=n（n+1）（n1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②①得：，bn+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n3n+n，∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①②得：2Hn=3+32+33+…+3nn×3n+1=∴，…（10分）∴数列{cn}的前n项和…（12分）点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用． 20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，椭圆C与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x2+y2=相切于点W（O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程并证明：OE⊥OF；（Ⅱ）设λ=，求实数λ的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；证明题；平面向量及应用；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意得2b=2，=，a2=b2+c2，从而求出椭圆C的方程；由直线l与圆O相切化简可得m2=（1+k2）；由可得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，从而结合韦达定理及向量的数量积化简可得=0，从而证明．（Ⅱ）由直线l与圆O相切于W，且+=1，+=1可得λ===，再由x1x2+y1y2=0可得=；从而化简λ=，从而求实数λ的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意得，2b=2，=，a2=b2+c2，解得，a2=2，b2=1；故椭圆C的方程为+y2=1；∵直线l与圆O相切，∴圆x2+y2=的圆心到直线l的距离d==，∴m2=（1+k2）；由可得，（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，设E（x1，y1），F（x2，y2）；则x1+x2=，x1x2=，∴=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）km+m2===0，∴OE⊥OF．（Ⅱ）∵直线l与圆O相切于W，+=1，+=1，∴λ====，由（Ⅰ）知x1x2+y1y2=0，∴x1x2=y1y2，即=，从而=（1）（1），即=；∴λ==，∵≤≤，∴λ∈．点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法，利用平面向量的数量积证明垂直，韦达定理的应用，重点考查了学生的化简运算能力，属于难题． 21．已知函数f（x）=xalnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=，在（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞1时，②a≤1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在上的最小值min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e1时，②a≤0时，③0＜a＜e1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=12=1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y1=（x1），即x+y2=0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．<b...
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