超好玩硬币游戏，你都会玩吗？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
超好玩硬币游戏，你都会玩吗？
怎么样赢硬币正反面的游戏？注定获胜的赌博
本文作者:方弦
出门在外，恰逢不巧，你和朋友被困住了，干点什么呢。来几局三国杀？是个不错的提议，但问题是你带牌了吗，没牌怎么打？死理性派想说的是，会玩的孩子怎么不能玩！凑几个硬币，随随便便就能玩一整天。不得不说，硬币是世界上最好的游戏机，哦，前提是你得懂点数学。
在所有二人游戏中，最古老最有魅力的就是这个尼姆游戏了（好吧，在所有二人数学游戏中）。据说它发源于中国，有时候孩子们用纸片玩，但通常人们出门可能很少带纸片，所以我们用硬币玩。
这个游戏最流行的版本是用 12 枚硬币摆成三行。
游戏规则很简单，游戏双方轮流取 1 枚或多枚硬币（只能在同一行），谁拿到最后一枚就算赢。留心的朋友玩几把就可以琢磨出，只要在自己的某一个回合里留下两行多于 1 枚且数量相同的硬币，就能确保获胜。一个优势策略是，先手的人一开始就拿掉最上面一行 2 枚硬币，这样的话，离胜利就不远了。
有趣的是，有人发现，当扩展到任意多行，每行有任意枚硬币时，利用二进制，可以把这个游戏玩得风生水起。哈佛大学的数学教授布顿在 1901 年首次发表了论文详述了这个问题，也正是他，正式将这个游戏命名为尼姆游戏。
把玩家每一步操作之后的游戏局面叫做“棋局”。在布顿的论文中，如果玩家每一步操作后的棋局能保证自己获胜，那就是“安全的”，否则就是“不安全的”。每个不安全棋局都可以一步正确的操作变成安全的，而如果没有正确地操作，一个安全的棋局就会变成不安全的。
如何判定一个棋局是安全的还是不安全的呢？这就用到了前面提到的二进制。将每一行的硬币数都用二进制表示，按矩阵元素的排列方式对齐，这时候如果每一列的数（ 0 或 1 ）相加都为偶数（包括 0 ），那么这个棋局就是安全的，只要有一列元素相加不为偶数，那这个棋局就是不安全的。
回到我们上面说的那个流行版本上，可以看到在初始状态，它的二进制表示如下图
可以看到，第 2 列之和为奇数，所以这个本版的初始状态是不安全的。拿掉最上面一行的 2 枚硬币，第 1 行就变成了 1 ，从而留下了一个安全棋局。通过用其他方法试验，可以看到，拿掉第 1 行的 2 枚硬币是留下安全棋局的唯一操作。
把棋局转化成上面这个二进制表格，根据表格决定怎么操作就不会出错了。但是在玩的时候，恐怕对手没那么宽容，让你不断画表格，在脑子中计算，一不小心就出错。那么记住下面这条就很有用了：在两行里留下同样多的硬币，总能赢。在此之后，让每行硬币数量保持相等就可以了。
尼姆游戏深受数学家喜爱并被广泛研究，它因此产生了很多变体。1910 年美国数学家穆尔就提出了一个，它规则与尼姆游戏相同，只不过玩家可以从不超过指定数 k 的任意多行里拿掉硬币。有趣的是，它同样可以通过二进制来分析，只要把安全棋局定义为：二进制表里的每列之和都可以被 k + 1 整除就可以了。
后选择一定赢的硬币游戏
对于粗心大意和无知的人来说，这个游戏就是一个十足的陷阱。让我们来看看这个它是怎么玩的。
抛三次硬币看最后哪一面朝上，结果无非只有这 8 种：
正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反
这个游戏的规则是，对手有优先选择权。首先对手在这 8 种组合中选一种作为他的组合，然后你选一组作为自己的组合。双方选定后，随便选一个人来连续抛硬币，直到他的或你的组合出现为止，谁的组合先出现谁就算赢。
这个游戏看上去没有什么问题，不管哪种组合，它们出现的概率都是一样的。但如果谁真这么想，那他可就输定了。事实上，先选的人一定会被针对。无论对手选择选择哪个组合，后选的人都可以选一个组合来针对他，使自己的获胜概率至少提高到 2／3 !
如果你不相信的话，就让我们选一个简单的例子来分析看看。假设对手选择的是“正正正”的组合，这时候我们只要选择“反正正”，胜率就可以瞬间到达 7／8。这是为什么呢？
如果前三次就抛出了“正正正”的结果，那对手就获胜了，这种情况发生的概率为 1／8 。但除此之外，只要最开始的三次对手没有获胜，那么我可以说，他已经没有获胜的机会了。因为前三次没有获胜，就说明在他获胜之前一定出现了反面，那第一次出现“正正正”的情况必然包含在如下的结果中：
……反正正正……
可以看到，当出现“反正正”的时候，他已经没有办法再玩下去了，因为那正是我们选择的组合，到这里我们已经获胜了。对于其他组合，这里不再专门讨论了，下面附出一张表格，给出了后选择的人采用正确策略的获胜概率，可以看到，后选择的人获胜的最低概率也是 2／3 。
你是否觉得这个结果有些出乎意料？需要说明的是，在涉及到概率时，我们的直觉很多时候都是错误的。如果你不相信，来看看死理性派的
是如何颠覆你对世界的认识的吧。
硬币正反不一样
通常我们所说的硬币，都是理想硬币。但由于设计的原因，硬币正反面的花纹并不一样，这就导致了它的实际重心不在正中心上。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有所偏差，想要知道这个偏差具体有多大，难度颇大。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，可以忽略不计。
尽管如此，但万一就遇到了一个死较真的和你玩抛硬币，我们能不能找到一个方法，让真实的硬币达到理想硬币的效果呢？
答案是能。我们可以用下面这种玩法“化腐朽为神奇”：连续掷两次硬币，如果两次结果是相同的（都是正面朝上或都是反面朝上），那就重新再连续掷两次硬币，直到结果不同为止（一次反面朝上，一次正面朝上）。这时， [正,反] 的结果就可以对应掷理想硬币结果为正的情形， [反,正] 的结果就可以对应理想硬币为反的情形（反过来也可以）。
这是为什么呢？假设硬币掷出正面的概率是 p ，那掷出 [正,反] 的概率为 p( 1 - p ) ； [反，正] 的概率为 （1 - p）p。二者相等，所以采取这种方法，即便是一枚非理想硬币，游戏结果也会变成完全公平的。
《明知其输而博赢的概率分析》
《科学美国人 趣味数学集锦之二》
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全部评论(125)
机械电子工程、消费产品设计专业
真烦正。。。。表格里的
有机会玩玩看。
最流行的版本明明是第一行一个第二行两个第三行三个第四行四个。
智能科学专业
不好玩啊这些游戏。。。。。。
正在学概率论的飘过~~
我喜欢以前玩过的一个在纸上随机布点然后画三角形的游戏~
这玩法比死理性派的文章都难……
听没意思的…尤其是第一个，没法玩…
我还是乖乖上当受骗吧...
头脑简单的只有--闪...
硬币中的概率分析啊哈哈0 0
炮姐说：老娘一个硬币崩死你！
見過這個硬幣遊戲很多次，但是總是不是很清楚。。。感覺這里也沒說清啊= =|至少我是沒看懂。。。結論是不是先手的人可以必勝啊？
好奇妙啊。明天糊弄别人去。
第一个不理解。害怕矩阵...
对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊
电脑游戏什么的在死理性派面前都弱爆了。。。
小狡猾阿，挺好玩的！
给水排水专业
我还是比较喜欢用硬币变小魔术哄女生的男生…而不是玩什么该死的数学游戏…（我要被追打了么）
很不错，可以骗妹纸啦~~~
引用chiefoforc的回应：对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊是的。谢谢。已更正。
有意思，哈哈……
正反0.....
我经常用硬币的铸造年份来演示排序。。。我这样学会了快速排序和归并排序铸造年份不知道？硬币正面最下方（指新式硬币）的4位数字
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违法和不良信息举报邮箱：&&&&举报电话：暑假有什么游戏好玩的？五大经典RPG游戏大作推荐
来源：游迅网编辑：Mr_Ke
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17:30:06&&来源：Blues&&&编辑：Blues&&浏览量：加载中...&&
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　　2014年已经成为过去，这也意味着2015年的游戏大潮已经来临！今年依然会有枪车球、RPG、动作冒险、模拟经营等等各种类型的游戏，还有让你做面包的游戏和让你变成面包的游戏。在2015年里，有许许多多新的怪兽等你猎杀、新的故事等你探索，还有新的军队等你调遣！2015年一定会棒极了！
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09-02-19 &
1 每人买一个小礼物 标上号 大家抽 抽到几号就拿几号礼物 2 买好多小气球放在地上让大家踩 3 击鼓传花 4 真心话大冒险5 经典游戏都可以 6 杀人游戏，很好玩的。。 用扑克牌玩的一种多人推理游戏 7 你可以找一些游戏，像传气球，传到谁那儿就让谁出节目，或者绕口令，或者盲人摸象，还有轮流说广告词，谁说不出就出节目 8 大逃杀 9 外出旅游. 10来个卡拉OK歌唱大赛 11抽签一个同学上台，蒙上眼睛，让他穿过前方的几个障碍，大家指挥他，他看不见，其实，前方根本就把障碍物全部拆除了，他还傻呼呼的走呢，然后让他睁眼一看，搞笑极了，而且还不过分，大家帮忙在找几个给我啊！ 12跳兔子舞 13假面舞会,对歌 14搞个插花比赛，再把作品送给老师，或摆在教室。 15抢凳子或者猜灯谜都可以踩汽球 16对对子、对歌这些比较欢快 17如果弄难忘感人的，就让每个人写几张纸条，提出一些问题，然后每人抽纸条回答问题 18可以让每人写一句话，分主谓宾拆开，随意搭配起来读; 击鼓传花，输的唱歌；搞一次联欢会；还可以玩傣族的泼水 节。 19每个人写一句祝福的话，加上礼物，互相送。 20如果有电脑-把你们班的活动的照片和几个同学一起的合影扫描上去，陪上音乐。 21投票-最漂亮，最乐于主人，最搞笑，最八挂，联欢会结束时公布，得奖 22全班人一块玩杀手游戏呀，互动性强，大家都可以参与 23大家可以一起包饺子啊,在饺子里面放一些花生,枣子之类的有意义的东西，也可以放几个辣椒，呵呵，谁吃到谁倒霉 24当然是心有灵犀了 25首先每个人进场都要领一个卡片，五种不同颜色的卡片，上面还有号码，可供抽奖用。拿到同一种颜色的同学坐在一起属于一个小组。下面做各种游戏，从每个组抽人做代表，成绩最后两名接受惩罚。 游戏一：坐气球。 每个小组三个人上来参加，两个人吹气球，一个在椅子上坐暴。坐暴10个气球，按用时多少算胜负。 游戏二：纸杯传水。 每个组出5个人站成一列，每人嘴上叼一只纸杯，然后从前往后传水，不能用手，全凭嘴和头的动作，在规定时间内按传到最后的水的多少算胜负。 游戏三：顶橘子 每个组两个同学上来参加，奖橘子顶在头上，不能用手扶，然后按主持人安排做动作，比如跨凳子，向后转，坐下起立，相互之间除了接触外也允许使用吓唬等手段，按坚持的时间长短算胜负。 这是几个比较有意思的，其他的象心有灵犀，抢凳子，击鼓传花就不用多说了吧。 另一个要热闹的关键是惩罚措施，每个游戏获胜的领奖品，最后两名则要接受惩罚。可以将惩罚措施写成一堆纸条，让受罚者抓阄。这里说几个很high的惩罚方法。 26学广告。 大家都看过脑白金的广告吧，就让他学里面的动画人物的动作，哈哈。当然还有很多搞笑的广告，自己找吧。 27表演 例如让他选择“装白痴，装纯情，装gay”，不管装哪个，都很好看，呵呵。 28朗读 准备好一段很搞笑的文字，比如那一段“我是一头猪，。。。。”呵呵，让他大声读出来，里面还可以要求动作。 29吻桌子（柱子） 被罚者要亲吻指定的一个桌子5下，这时最好有照相机伺候，呵呵，出来的照片肯定很精彩！ 好了，就说这些吧，应该能用的上。 30简单,准备两张扑克牌,把同学分为两组进行扑克牌传递比赛,传递方法是一个人用嘴吸住扑克牌的一面传给第二个人,然后第二个人用嘴吸住另外一面传给第三个人,整个过程中扑克牌不能被除了嘴以外的任何部位碰到,也不能落地.赢了的组可以从输了的组里面随便挑个人出来让他做各种怪异的动作,就是一开始提出的要求别太过分,等大家情绪高涨之后再提点过分的要求就没关系了,比如亲马桶盖之类的... 不过这个游戏最好还是不要让老师看到,免得有人暴血管... 还有一个游戏就是让全班同学一男一女地前后排成一个圆圈,等组织者叫&一二三&的时候大家一起放心大胆地坐下,你们会惊讶地发现你们坐在了后面同学的膝盖上...注意前后两人之间的位置要适当,太近了会坐不下去,太远了会摔在地上... 祝好心情... 31小品、相声、唱歌、舞蹈、交换祝福（贺卡）、发糖果饼干 32抢板凳， 击鼓传花-表演节木 找一个同学，让他模仿另一个人-可以是老师同学明星，猜出有奖。 33卡拉OK！ 34新年晚会这么多人当然玩杀手游戏了，参与性强，全班都可以参加 35大家一起包饺子啊，多温馨啊 36藏猫猫 37什么都玩 38尽量多一些大家能够互动的游戏,让大家参与近来,让几个不怕出糗的人当主持人,能活跃气氛的~~~~~~~~~~ 39一起~唱歌~喝酒~玩~~~~和呵
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