求解定积分定义公式，要过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-25 07:47 标签： 定积分定义公式

步骤：首先分析积分区间是否关于原点对称，其次考虑被积函是否具有周期性，再次考察被积函是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项等。

定积分的计算一般思路与步骤

Step1：分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简定积分计算。

Step2：考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果是，则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简积分计算。

Step3：考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是，可考虑使用定积分的分部积分法计算定积分。

Step4：考察被积函数是否包含有特定结构的函数，比如根号下有平方和、或者平方差（或者可以转换为两项的平和或差的结构），是否有一次根式，对于有理式是否分母次数比分子次数高2次以上；是否包含有指数函数或对数函数，对于具有这样结构的积分，考虑使用三角代换、根式代换、倒代换或指数、对数代换等；换元的函数一般选取严格单调函数；与不定积分不同的是，在变量换元后，定积分的上下限必须转换为新的积分变量的范围，依据为：上限对上限、下限对下限；并且换元后直接计算出关于新变量的定积分即为最终结果，不再需要逆变换换元！

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

首先我来复述一下问题：定积分与不定积分是如何计算的？

现在凡是学过高等数学的大学生，可能对这样的问题，已经不屑于回答了，或者说大家觉得这已经是一个基本运算，没什么好解释的。而且这个问题真的太笼统了，无法一句两句解释清楚，也可能无从下手去解释。

你知道人类用了多长时间才完善微积分学吗？据粗略了解，从公元前5世纪到17世纪，也就是整整经历了22个世纪，大概2200年才建立起较为完善的微积分学，几乎整个16世纪和17世纪，200年时间里无数的数学家都在解决“求积问题”。牛顿和莱布尼茨同时发现了重要的积分定理。

现在我们回归当下（以下内容参考自《托马斯微积分Thomas’ CALCULUS 》第10版的第四章积分）。

定义 一个函数的反导数

一个函数 F(x) 称为另一个函数 f(x) 的反导数，如果

对 f 定义域中的 x 成立， f 的全体反导数所组成的集合称为 f 关于 x 的不定积分，记作

其中符号 \int_{}^{} 称为积分号，函数f称为积分的被积函数，而 x 称为积分变量。

以上就是一个函数的反导数的定义，这是人为给的定义，符号也是人为去画的，不必过于纠结为啥要这么定义。

如果我们已有一个 f 的反导数 F ,其它原函数与这个反导数只差一个常数。可以用以下符号表示：

其中 C 称为积分常数或任意常数。这个方程读作“ f 关于 x

当我们求得 F(x)+C ，我们说已经完成了对 f 的积分，也就是计算了 f 的积分，这就是我们所说的不定积分。

其中 x^{2} 是 2x 的一个反导数， C 是任意常数。

这就是不定积分的计算！

可以看出，虽然求不定积分是有点靠猜的感觉，但验证结果是否正确是非常简单的，只要对结果求导，只要等于题目给出的 f(x) ，就是正确的。事实证明，求不定积分是一件十分具有技巧和值得研究的事情。

本来想先说说黎曼和的概念的，后来一想题目问的是怎么计算，就直接说计算吧，不啰嗦太多了。

首先还是说一下微积分的非常重要的基本定理之一 积分求值定理：

在 [a,b] 的任何一个点的反导数，则

这个等式实在是威力巨大，我们无需再了解什么黎曼和，什么极限，直接去享受计算吧！

看，简直是太简单，以至于我不得不加上这句话，这样似乎显得好看一点。

好了，似乎没有什么可以说的了。。。（但其实求积分真的是很不容易啊！！！）

补充说明一下，并不是所有的积分都可以用初等表达式计算出来的。

所以当你遇到实在无法求解的积分，不要惊讶，这是很正常的事情。

上面虽然非常应题的解释了定积分与不定积分的计算方法，但并没有说这样计算出的结果，有什么物理意义？也就积分计算到底能做什么用？

在实际生活中，我们有一个非常常见例子：

一辆汽车，从静止状态沿直线加速到 20m/s ，花费了 10 秒时间。我们假设汽车是做匀加速运动（为了我们的方便计算），问汽车在10秒的时间里，行驶了多远？

因为这里是匀加速运动，我们当然可以用非常简单的方法得出汽车的平均速度：

这是一个非常简单的实际例子，可以帮助我们理解积分的一些物理含义，当然积分的应用实在太过广泛，我甚至都无法为你展示出冰山一角，新大陆在等待你的探索。

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