线性代数题目数学题4？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-19 02:54 标签： 线性代数题目

齐次线性方程组的基本公式与结论

若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有

其中|Ai|是|A|中第i列元素(即xi的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,bn所构成的行列式.

(2) 齐次线性方程组解的存在性

若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,

● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.

(3) 求解方法之高斯消元法

将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.

(4) 基础解系和解的结构

非齐次线性方程组的基本公式与结论

非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。

● 导出组解的线性组合仍为导出组的解

● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解

● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解

● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和

● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：

若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个

求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.

(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题

解题方法：概念与性质必须娴熟。

(2) 含有参数的线性方程组解的结论

● 含参数的个未知数个方程的线性方程组，当n≤3时，通常利用系数行列式进行分析讨论：当系数行列式不等于零时，方程组有唯一解，用克莱姆法则；当系数行列式等于0时(此时参数值已确定)，则利用增广矩阵行的初等变换化为梯形阵判别有无解，有解时求出通解。

● 当方程的个数未知数的个数，或虽然二者相等，但n>3时，通常是对方程组的增广矩阵施以行的初等变换化为梯形阵，然后再对参数讨论方程组有无解，有解时求出解。变量的系数中不含参数的方程也用此法。

(3) 有关基础解系的命题的证法

● 定义法：即证一组向量为线性无关的解向量，且任一解向量都可以由他线性表示；

● 设AX=0为n个未知数的齐次线性方程组，r(A)=m，预证n-m个解向量为基础解系只需证它们线性无关即可。

(4) 涉及两个方程组解(I),(II)之间关系的命题的讨论

这类问题的解决通常是通过两方程组的基础解系来分析，同时还应理解线性方程组(I)与(II)有非零公共解的含义：

● 方程组(I)与(II)构成的大联立方程组的非零解，即为方程组(I)与(II)的非零公共解。

● 令方程组(I)与(II)的通解表达式相等，求出非零公共解，即为方程组(I)与(II)的非零公共解。

● 将已知的通解表达式代入另一个未求出通解的方程组中，确定出通解表达式中基础解系的系数，记得到两个方程组的非零公共解。

【解题思路与参考答案】由已知α3=α1+2α2可知三列向量线性相关，从而|A|=0，所以A有零特征值，并且由于A有3个不同的特征值，所以另外两个特征值一定不等于0，从而可知矩阵A可以相似对角化为一个由三个不同特征值构成的对角矩阵，从而，即

由于r(A)=2，3个方程3个未知量，可知导出组Ax=0的基础解系只有一个解向量.

可知基础解系可取为(1,2,-1)T. 另外由

可知(1,1,1)T为AX=β的一个特解，于是由非齐次线性方程组解的结构，可得Ax=β的通解为

例(2016数学一)设矩阵

当a为何值时，方程AX=B无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程.

【解题思路与参考答案】增广矩阵为

此时方程组有无穷多解，将(*)代入可得


本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请。

我要回帖

更多关于 线性代数题目 的文章

 

随机推荐