大学高数B 为什么B不对呢？

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高等数学B 高等数学 课件
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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：诱导公式： 反三角函数性质：高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程SK.WK1. 0 ,)ln(cos)(2xaxxxxf0=x处连续，则=a（ ） 。 1 （A）0； （B）1； （C）； （D）21。 三、问答题三、问答题 1有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量，能否说有界函数与无穷大量的乘积 是无穷大量？ 2无界函数是否一定是无穷大量？ 四、求下列极限四、求下列极限 1)sin1(sinlimxxx+； 2)12(lim545xxxx+。 五解答题五解答题 ,cos1)(2xxgxxxxxf其中是有界函数，则在)(xg)(xf0=x处（） （A）极限不存在； （B）极限存在但不连续； （C）连续但不可导； （D）可导。 4设xxxxf=2)(，则（ ） )(xf（A）处处不可导； （B）处处可导； （C）有且仅有一个不可导点； （D）有且仅有两个不可导点。 二、填空题二、填空题 1已知+=aaxx （B）； （C）1； （D）。 11 . 05 . 02设xxxxf233)(+=，则使存在的最高阶导数的阶数n为（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 )0()(nf二、求相关变化率二、求相关变化率 1溶液从深 15cm，顶直径 12cm的正圆锥形漏斗漏入一直径为 10cm的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为 12cm时，其液面下降的速率为min1cm。问这时圆柱形容器中液面上升的速率是多少？ 2. 一飞机在离地面的高度，以的速度飞行到某目标上空，以便进行航空摄影，试求飞机飞到该目标正上方时，摄影机转动的角速度。 km2hkm/200二、填空题二、填空题 1设，则 =ttyttxsincos=22dxyd 。 2设，其中，22tan)(cosxxfy+=可导 f=dxdy 则 。 （3）设函数在)(xf),(+内连续，其导函数的图形如图所示，则有（） )(xf（A） 一个极小值点和两个极大值点； （B） 两个极小值点和一个极大值点； （C） 两个极小值点和两个极大值点； （D） 三个极小值点和一个极大值点； （4）在区间),(+内方程0cos2141=+xxx( ) （A）无实根； （B）有且只有一个实根； （C）恰有两个实根； （D）有无穷多个根。 o （A）有极小值； （B）有极大值； （C）既无极小值也无极大值； （D）有无极值依赖于的取值。 )(xfn 2（10）若，则方程（ ） 。 032 ba0)(23=+=cbxaxxxf（A） 无实根； （B）有唯一实根； （C）有两个实根； （D）有三个实根。 二、证明题 二、证明题 1求证：当xx2sin。 2.设，常数，证明：0 xea 每小时的燃料费用为 40 元，其他费用每小时 200 元，求最经济的行驶速度。 4求曲线xexy1) 12(=的斜渐近线方程。 3习习 题题 课课 九 九 一、 选择题 一、 选择题 1设函数在)(xf),(+上连续，则)(dxxfd等于（ ） （A）； （B）； （C）)(xfdxxf)(Cxf+)(； （D）dxxf)( 。 2若，则的原函数之一是（ ） 若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 1求曲线xx，0y22=y，1=x，3=x所围成的平面图形的面积S，并求 该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。 2设有曲线，过原点作其切线，试求： （1）切线方程； （2）此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积和表面积。 3半径为R的球沉入水中，它与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，问需要做多少功？ ，以及所围成的平面图形绕旋转一周的旋转体体积最小。 )(xyy=1=x2=x轴 x轴 x5已知，求满足关系式存在)0(f )()()(1)()()(xfyfxfyfxfyxf的函数+=+。 1四计算题 四计算题 设平面图形 D 由所确定， 试求 D 绕直线xyxyx+ 222与旋转 2=x一周所生成的旋转体的体积。 五证明题五证明题 且满足关系式上连续在设 ,), 1 )( +xf cos3sin2cos5设L是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点（)0)(,(xyxP0 ,21） 。试求曲线L的方程； 求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小？ 6设是一向上凸的连续曲线，其上任意一点处的曲率为)(xyy=),(yx211y+，且此曲线上点处的切线方程为) 1 , 0(1+=xy，求该曲线的方程，并求出函数的极值。 )(xyy=7一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积成正比，比例常数 0k。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的的 ?r87，问雪堆全部融化需要多少小时？ 2P52 SK?18. d1 + x + x2+ xn=xn+11x1(n?x , 1)|?e?(1) 1 +
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我在这里，把线性代数归于高等数学的范畴，因为它的理论适用于很多高等数学求解的领域，例如多项微分方程组的求解，离不开它。方程组，有什么物理/几何的意义吗?有，就是一种映射关系。下图中，左图代表了2维到2维的一一映射，注意，Ax=0只有0解代表对于满秩矩阵A，[0]只能被映射为[0]。右图代表A不满秩，就是2维映射到1维的情况，一个线段映射到一个点，也就是存在一个'解系'。

换个角度，由于线性映射常常就是线性变换，也就是映射回本身的集合映射，所以AX=B也可以看成是某种交点的性质。根据向量之间相交的情况区分，定解(直线或面交于一点，1和2中的交点)，无穷解(直线平行或面多面共线，这个线就构成解系。1种的红黄色重合线和3中的共线)，或者无解(平行或面没有公共交点，1中的平行线和4中的平行交线)。如下图所示。

符号系统还有什么作用？在线性代数和微分方程里面的算子理论就是符号系统的一种形式。如果ax=b有解，那么x=(a^-1)*b，其中|a|=0，我们可以推出对于矩阵方程组Ax=B有确定解，,那么这个解集是x=(A^-1)*b。这里-1表示逆矩阵，*表示矩阵相乘，其中|A|!=0。这样的表示是正确的科学的，要做的事情就是看看A^-1如何表示和得到。|A|不是绝对值而是行列式。A此时称为可逆矩阵----这个相当于实数运算里面要保证分母!=0。是不是很相似？

可逆有什么性质：如果对一个矩阵做线性变换，使用一个满秩的矩阵，那么做变换的结果，秩不变。要注意，把矩阵当成算子的时候，乘法的交换律不一定成立。秩的加法律和乘法律r(AB)>=r(A)+r(B),r(A+B)

 二.矩阵运算的物理含义，举例

如果把矩阵看成一个2维坐标系离散值的几何，那么：

1.矩阵加法A+B就是A的各个点作平移，平移的度量是B当中对应的点。

2.矩阵乘法A*B就是一种线性映射：如果A是x/y坐标系，B是y/z坐标系，那么结果就是x->z的映射。举个例子，有3个国家，A国有三个城市，B国有三个城市，C国有两个城市。他们之间的道路状况如下用矩阵表示

那么从A国的每个城市出发经过B到达C的每个城市，各自有多少条线路?答案就是

3.我们深入的讨论一下'映射'的概念。举实数为例，y=ax是一个乘法映射，每一个x对应一个y。那么如果知道y求x呢?x=a^(-1)*y。这里影射函数f(x)=ax和反函数g(x)=a^(-1)x互逆。那么我们推广到N维坐标系空间里面就看到，矩阵就是一个N*N的坐标系映射。AX=B，把B看成Y，那么X=A^(-1)*Y。前提是A的范数!=0。我们构造的得到的A的1范数就是它的行列式。那么到底什么是映射?莱布尼茨说映射就是一组2元关系。在1维的时候表现为函数的形式f(z)=z，在多维的时候表现为矩阵的形式。1维的多次映射表现为函数的嵌套(gof)，多维的情形可以写成矩阵的乘法。当然，限制条件是，矩阵能表示的是一个离散值的集合。当然，方阵才有逆----方阵是维数不变的N->N的一一映射，所以可能有且只有一个反映射，或者没有反映射。N->M的不同维数映射无法得到反映射。

4.形式化的定义。我们如果把矩阵看成一个'算子'的话，矩阵的乘法就能看成一个状态机的推演，推算的过程就是一次算子入栈，反推的过程就是算子出栈。那么显然就能够理解(AB)T=B(T)*A(T)以及(AB)^-1=B^(-1)*A^(-1)，(AB)*=(B*)*(A*)。我们从伴随矩阵的性质AA*=|A|E得到A^(-1)=A*/|A|。矩阵左乘是行变换，右乘是列变换。把矩阵看成算子，同时可以把子矩阵看成算子，分块矩阵的相成和行列式求解也就很简单了。可以把小的矩阵当成一个数来看待。三角阵通过初等变换可以变成分块阵。

5.初等矩阵有3种，对应3种最基本的矩阵变换，也就是行列互换，行列数乘，一行/列数乘以后加到另一个行/列上面。初等矩阵都可逆。线性变换的结果是'相抵'的。一个矩阵总是能等于一个初等变换矩阵，并且逆矩阵的属性不变。对于可逆矩阵A，总有P1P2P3...PnAQ1Q2...Qn=E。或者说存在可逆矩阵P/Q使得PAQ=E。例如，如果A,B和A+B都可逆，那么A(-1)+B(-1)=B(-1)(B+A)A(-1)也是可逆的。

6.于是有了线性空间的概念：线性空间V就是一个集合，它同时满足V上的元素加法和对于数域K上面的乘法满足8条线性运算的规则。

7.为什么要讨论相似?这里面包含了一种不变性，是研究变换的数学工具。实数变换可以拆分成复数变换，例如酉矩阵，在晶体学里，酉变换叫做幺正变换，也就是将空间（可以是任意维的）中一组基矢做一个旋转操作，不改变矢量的大小和内积。而在量子力学里面，这个用处就更大了，本质上就是量子力学所说的表象变换。是连接两个表象的桥梁。

矩阵代表了一种二元关系。函数映射是一种1维的二元关系，那么矩阵就是一种N维的二元关系。矩阵的方法就是一种映射的运算，之所以成为线形运算，是因为每一个投影都是具有拉伸和整体旋转的几何意义，相当于向量通过平面镜映射到一个投影平面上面的结果。这里只有平面镜和投影平面，没有哈哈镜和投影曲面。如果我们把2元的对应关系写成复数形式z=x+yi，那么f(z)就是一种投影的关系，只不过f(z)是直线方程的时候对应于一个等效的矩阵，f(z)如果不是直线方程，那么就是一种非线性变换。线形变换有许多很好的性质，能够保持信息的数量和结构保持某种程度的不变性，同时使得结果方便理解和处理。

映射还有一个性质，就是保角性。假设我们要研究x/y平面上面的x^2-y^2=c和xy=d这两个双曲线之间的夹角，怎么办?我们可以用微元的办法(微分几何)来求出。但是这样当然很麻烦，而且是一题一解(牛顿喜欢这样做，但是莱布尼茨反对这种解决方案)，不太符合公理系统和形式化推理的思想。考虑z1=x+yi,z2=y-xi,f(z)=z^2费波纳契数列的求解遇到过这样的问题:

一个数列a(-1)=1,a(0)=1,a(n+2)=a(n+1)+a(n)求an的通项公式。用中学时代的眼光我们可以观察到，如果an当n->无穷的时候，是个等比数列，显然符合递推公式。那么我们就可以假设an=入a(n-1)，那么由递推公式我们就可以得到:入^2*a(n-1)=入*a(n-1)+a(n-1)，求得入=(1+根号5)/2(应为这个比值要>1)，那么an=入^n*a0。当然这个只是一个近似公式，结果不准确而且推导的过程不严格。那么我们用大学的线形代数来求解。我们考虑修正方案构造一个等比数列，an+Aa(n-1)=B(a(n-1)+A(a(n-2)，化简得到an=(B-A)a(n-1)+Aa(n-2)，于是B-A=1,AB=1，解得A/B=(根号5+-1)/2。

1.对于克莱姆法则求解的过程，我们看到Ax=0的情况，对应于每个解分量的克莱姆除法式，Xn=Dn/DA，Dn矩阵中有一个全为0的列向量，那么求行列式的过程(全乘)结果肯定为0，所以方程组至少有个解向量就是[0,0,0,....]。这验证了我们前面说的，空间直线/面相交于原点的情况。

2.对于行列式除法，如果有分母等于0的情况，Ax=b就“可能“对应于无穷个解。当然，解之间符合一定

的数学约束关系(例如3维空间中的某个直线方程)。举个例子，x=1,y=1,x-y=0这3个平面交汇于直线

(x=1,y=1)，那么分母行列式些出来就是

第三个行向量是冗余的，它的行列式＝0。为什么说可能无穷个解(去穷个z)，因为b不同，可能还会导致无解。那么，我怎么知道有解还是无解呢?那就要求出所有克莱姆除法式的分子，如果有分子分母同为0的情况，就是无解，例如x=1,y=1,x-y=1这3个平面两两相交，但是就是没有公共的部分，克莱姆解法求z分量的过程，克莱姆分子就是下面这个矩阵的行列式

 克莱姆法则提供一个同用的解方程的方法：我们不再需要通过观察数字拼凑的方式来消元了。当然，直接用克莱姆法则还是太复杂了。首先，随着维数的升高，计算复杂度指数增加O(N!)，然后只有求出了所有的克莱姆分子行列式才能判断是否有解，冗余度很高。所以我们需要进一步广义地研究矩阵的特性，矩阵的秩，特征矩阵/向量/值，等等。我们需要从Ax=0推理到Ax=b。

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