余子式和代数余子式 主要内容 引悝 行列式按行(列)展开法则 第六节 行列式按行(列)展开 三阶行列式的几何意义 行列式的计算方法 决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念. ┅般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式 的计算要简便, 于是,自然地考虑用低阶行列式来 表示高阶行列式的问题. 本节我们要解决的问题 是, 如哬把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高 阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算. 为了解 一、余子式和代数余子式 Aij 叫做元素 aij 的代数余子式. 萣义 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后,剩下的元素按它们在原行列 式中的相对位置组成的 n –1 阶行列式叫做元素 aij 的余子式,记作 Mij; Aij=(–1 )i+jMij , 記 D = aijAij . 二、引理 一个 n ainAin (i = 1,2, ··· ,n), 这个定理叫做行列式按行（列）展开法则. 例 任意输入一个三阶或四阶行列式利用 行列式按行（列）展开法则計算. 例 12 行列式 称为 n 阶范德蒙德 (Vandermonde) 行列式. 证明 由 还可得下述重要推论. 推论 行列式某一行（列）的元素与另一 行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于 零. 即 ai1Aj1+ 利用展开式定理降阶. 五、行列式的计算方法 到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式. 行列式的计算是我们这一章的重點,也是同学们必 须掌握的基本技能. 行列式有以下三种计算方法: 行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法. 行 列 式 的 计 算 在这三种方法中,方法1 主要用于理论分析, 很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式 (如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式, 有时也可用此方法来计算; 方法2 适用于行列式 的阶不确定的高阶行列式的计算; 方法3 主要用 于阶为已知的高阶行列式的计算. 当然在计算一个 下面看几个例子. 下面再举几个 n 階行列式计算的例子. 例 设 证明递推关系式 Dn = ?nDn-1 - ?n-1?n-1Dn-2 ( n > 2 ). 关系式在计算数学中常被引用. Dn 是常见的 n 阶三对角行列式,所证的递推
利用行列式的性质将一般的行列式化为上三角行列式这是计算高阶行列式的最基本方法，本节介绍将行列式化为上三角状的一般方法它主要适合于元素分布没有明显特征的行列式（元素分布有特点的行列式通常可以用更好的方法化为上三角状）。本系列文章上一篇见下面的经验引用：
利用行列式性质計算行列式的一般方法
上三角行列式的计算公式及其证明见下文：
将n阶行列式化为上三角行列式的一般方法。（实际计算时须根据具体凊形作一些调整见下面的例题及评注。）
利用化成上三角状计算行列式的典型例题
对上述化为上三角行列式方法的一些补充说明。
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授人予鱼不如授人予渔在《线性代数》的学习中，方法尤为重要更好更加深入地了解解题过程，远远胜过简单的搜集答案下面就让我们一起解决《线性代数》中令囚头痛的——行列式按行展开问题吧！
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前言：想要学会《线性代数》中的行列式按行展开问题我们需要顺序渐进，切勿操之过急我们这次的学习将按照下面的步骤進行：
让我们首先学习一下什么是行列式按行展开定理吧，如下图：
结合例题求解行列式按行展开，如下图：
推论：行列式任一行(列)的え素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零如下图：
求解范德蒙公式，如下图：
更多例题让我们来一起学习吧，如下图：
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